数学帝葛军学好数学的三件法宝

　　葛军，南师附中校长，因在数学上有独到的研究，所以被人们尊称为葛大爷，我们这里简称葛大。
　　虽然近年来，葛大几乎不怎么露面，但葛大每次出现，都会掀起滔天巨浪，大家可能不了解葛大的数学帝的称号是怎么来的，我们用网传的一段数据来告诉你：
　　这是一段在网上流传较广的段子：
　　2003年，葛军参与江苏高考数学命题工作，江苏数学全省平均分68分（满分150分）。
　　2010年，葛军参与江苏高考数学命题工作。当年江苏数学平均分83。5分（总分160分）。
　　2013年，葛军参与安徽高考数学命题工作，理科平均分只有55分左右（满分150分），导致安徽省一本分数线较2012年狂降54分。
　　凭借这些广为流传的光辉事迹，葛大一战成名，被推上高考数学第一命题人的宝座，封数学帝。
　　对学生说葛军经常对初升高的学生说：背上你的行囊，行囊里只放进三样宝贝，其他的千万不要放，轻装上阵！有学生不相信：我学了那么多，这三样宝贝能对付吗？他回答：完全能对付，万变不离其宗。
　　这三样宝贝是：一把剑、一个A、一面镜，这三样东西串起了整个高中数学学习的基本的结构。
　　接着葛军介绍了三件宝贝的具体含义：
　　一把剑
　　一把剑是什么剑？
　　武侠中的倚天剑，剑气贯长。
　　它可以变换成数轴；再轻轻一抖动又可以变换成雌雄二剑，构成横刀立马之势，也就是笛卡尔坐标系，用这个十字架可以把几何问题转换成代数问题，面对许多问题就可以所向披靡。
　　案例1。如图，正方形ABCD的边长是12cm，E、F分别是直线BC、直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AEEF
　　（1）证明：RtABERtECF；
　　（2）当点E在边BC上，BE为多少时，四边形ABCF的面积等于88；
　　（3）当点E在直线BC上时，AEF和CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能，直接写出此时BE的长
　　【分析】（1）通过余角的性质可得BAECEF，即可得结论；
　　（2）由相似三角形的性质可求CF，由三角形的面积公式可求解；
　　（3）分三种情况讨论，由相似三角形的性质可求解
　　【解答】证明：（1）AEEF，
　　AEBCEF90，
　　又BAEAEB90
　　BAECEF，
　　又BC90，
　　RtABERtECF；
　　（2）如图，设BExcm，则CE（12x）cm，
　　RtABERtECF，
　　BE4cm或BE8cm；
　　（3）ABEAEF能成立，
　　如图1，当点E在线段BC上时，
　　AEEF，
　　AEFC90，
　　AF不平行BC，
　　AFEFEC，
　　当FECEAF时，AEFECF，
　　BAEFECEAF，，
　　tanBAEtanEAF，
　　，BEEC，BE12BE
　　BE6（cm）；
　　如图2，当点E在CB的延长线上时，设AF与BC的交点为H，
　　当CEFAFE时，CEFEFA，
　　EHHF，FAEHEA，
　　AHEHHF，
　　BCAD，
　　CFHDFA，
　　，
　　CH6（cm），
　　BH6（cm），
　　AH（cm），
　　BEEHBH（）（cm），
　　如图3，当点E在BC的延长线上时，设AF与BC交于点H，
　　当EFCEAF时，FCEAEF，
　　同理可求BE（）（cm），
　　综上所述：BE的长是6cm或（）cm或（）cm
　　在笔者看来，数形结合思想就是数学之利剑，是数学学习中重要的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
　　利用数形结合能使数和形统一起来。以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得清晰、直观。
　　数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。
　　一个A
　　一个A，万象大千，爱（谐音A）在处处。
　　A在数处，它指代的可能是整数、有理数、实数、复数
　　A在式上，可能表示有理式、无理式、函数式
　　A还可以是向量、矩阵，可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线、二次曲线，可以是球、柱、锥、台，或是组合数、概率
　　要了解A的概念、出现的形式，在解题中能快速将它们识别出来，同时能用整体性的思维去看待它们。
　　案例2。小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为手拉手图形
　　（1）问题发现：如图1，若ABC和ADE均是顶角为40的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BDCE；
　　（2）拓展探究：如图2，若ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是；
　　（3）解决问题：如图3，若ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E在同一条直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由
　　【分析】（1）先判断出BADCAE，进而利用SAS判断出BADCAE，即可得出结论；
　　（2）同（1）的方法判断出BADCAE，得出ADBE，ADCBEC，最后用角的差，即可得出结论；
　　（3）同（2）的方法，即可得出结论
　　【解答】：（1）ABC和ADE均是顶角为40的等腰三角形，
　　ABAC，ADAE，BACDAE，
　　BACCADDAECAD，
　　BADCAE，
　　BADCAE（SAS），
　　BDCE；
　　（2）ABC和ADE均是等边三角形，
　　CACB，CDCE，ACBDCECDECED60，
　　ACBBCDDCEBCD，
　　ACDBCE，
　　ACDBCE（SAS），
　　ADBE，ADCBEC，
　　CDE60，
　　BECADC180CDE120，
　　CED60，
　　AEBBECCED60，
　　故答案为：60，BEAD；
　　（3）AEBE2CM，理由：
　　同（1）（2）的方法得，ACDBCE（SAS），
　　CDE是等腰直角三角形，
　　CDECED45，
　　ADC180CDE45，
　　BECADC135，
　　AEBBECCED1354590，
　　CDCE，CMDE，
　　DMME，
　　DCE90，
　　DMMECM
　　AEADDEBE2CM
　　在笔者看来，技术分为道和术两种，做事的原理和原则是道，而做事的具体方法就是术。
　　数学真正的作用，就是让我们掌握道。
　　因为从历史的发展来看，所有的术都会经历：独门秘籍普及落伍的过程。
　　而只有掌握了道的人才能永远游刃有余。
　　当然，我还要再加一句话：只知道术，而不去研究道的人，水平会被锁死在某个理论极限内，无法突破。
　　关于解题之道：实质上就是通过审题来构思、探究解题思路的思维过程。解题必须充分运用条件和尽可能满足结论的需要，因而，通过审题全面掌握题意了解题的基础与首要任务。那么，审题要从哪些方面进行呢？这里有五点建议：
　　（1）初步地全面理解题意（理解它的每一个字、词、每一句话），能清楚地理解全部条件和结论；
　　（2）准确地作出必要的图形，包括示意图；
　　（3）必要时，要把语言和不宜于直接计算的算式化为能直接计算的算式，把不便于进行数学处理的语言化为便于进行数学处理的语言；
　　（4）发现比较隐蔽的条件；
　　（5）根据题目的特征提供的启示（信息）预见主要步骤或主要原则。
　　这五项要求，前三项是基本的，后两项是较高的。
　　一面镜
　　一面镜，对镜自问，一日三省，养批判性、创新性思维能力。
　　当你拿到一个关于椭圆的问题，能不能静下心来把它做好，做好之后思考，换成抛物线会怎么样？换成双曲线会怎么样？
　　当你去思考了，你的认识在加深，水平真正得到提高。
　　也就是常说的一道题做透了，要远胜于100道题。
　　题目再变，你不再觉得可怕，你可以说我都看透了。
　　案例3。课堂上，老师提出了这样一个问题：
　　如图1，在ABC中，AD平分BAC交BC于点D，且ABBDAC
　　求证：ABC2ACB
　　小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AEAB，连接DE，构造全等三角形来证明结论
　　（1）小天提出，如果把小明的方法叫做截长法，那么还可以用补短法通过延长线段AB构造全等三角形进行证明辅助线的画法是：延长AB至F，使BF，连接DF
　　请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
　　（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
　　如图3，点D在ABC的内部，AD，BD，CD分别平分BAC，ABC，ACB，且ABBDAC求证：ABC2ACB
　　请你解答小芸提出的这个问题；
　　（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
　　如果在ABC中，ABC2ACB，点D在边BC上，ABBDAC，那么AD平分BAC
　　小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的请你利用图4对这个命题进行证明
　　【分析】（1）延长AB至F，使BFBD，连接DF，根据三角形的外角性质得到ABC2F，证明ADFADC，根据全等三角形的性质证明结论；
　　（2）在AC上截取AE，使AEAB，连接DE，证明ADBADE，根据全等三角形的性质证明结论；
　　（3）延长AB至G，使BGBD，连接DG，证明ADGADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明
　　【解答】证明：（1）延长AB至F，使BFBD，连接DF，则BDFF，
　　ABCBDFF2F，
　　AD平分BAC
　　BADCAD，
　　ABBDAC，BFBD，
　　AFAC，
　　在ADF和ADC中，
　　易证明ADFADC（SAS），
　　ACBF，
　　ABC2ACB；
　　（2）如图3，在AC上截取AE，使AEAB，连接DE，
　　AD，BD，CD分别平分BAC，ABC，ACB，
　　DABDAE，DBADBC，DCADCB，
　　ABBDAC，AEAB，
　　DBCE，
　　在ADB和ADE中，
　　易证明ADBADE（SAS），
　　BDDE，ABDAED，
　　DECE，
　　EDCECD，
　　AED2ECD，
　　ABD2ECD，
　　（3）如图4，延长AB至G，使BGBD，连接DG，则BDGAGD，
　　ABCBDGG2AGD，
　　ABC2ACB，
　　AGDACB，
　　ABBDAC，BGBD，
　　AGAC，
　　AGCACG，
　　DGCDCG，
　　DGDC，
　　在ADG和ADC中，
　　易证明ADGADC（SSS），
　　DAGDAC，即AD平分BAC
　　正如教育专家钱仲寒说，每节课都是给学生自学的示范。例题教学也不例外，它是通过引导学生挖掘典型题目的潜在教育教学价值，从不同方面不同层次锻炼思维品质，培养思维能力，以此培养自主学习能力，其作用直接表现为：
　　对新授课中的定义、定理、公式的内涵与外延进行深化，连点成线，线组成面，由面成体，构建立体认知结构网络；
　　丰富应用含义，增加应用层次；
　　概括提炼数学方法，进而形成数学思想，增强数学应用意识。
　　数学如诗，数学悄然地在你身边，努力影响你，让你变得更为明智、理性，富有智慧。