为了对实数连续统进行严格描述而产生的理论。实数理论的产生源于对微积分的理论基础严密化的追求,人类早期对实数的认识仅仅局限于应用,对无理数的本质认识是不清楚的,并没有严格的定义,微积分诞生之后,随着对变量与函数的认识逐渐清晰,出于严密化的需要,先后诞生了极限理论、实数理论。实数理论是分析基础的三大部分之一,另外两个部分是极限理论、变量与函数。极限理论是数学分析的基本研究方法,而变量与函数是数学分析的基本研究对象。实数理论的成功建立,使得分析基础形成了一个完整的体系,标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成,从而第一次数学危机也在真正的意义上得到了解决。
基本介绍
实数是数学中最基本的概念之一。实数与数轴上的点可以一一对应。数学分析所研究的函数,其自变量都取实数值,因此认识和了解实数是建立严格的分析理论不可缺少的基础(“分析基础”)。实数包括有理数与无理数,而从欧几里得以来,人们都把它们理解为单位长线段可公度与不可公度的线段的长度。到17世纪,人们对实数的使用已经习以为常,并开始脱离其几何原型抽象地认识实数。但到19世纪中叶,在分析严格化的进程中,由于一些事实无法证明(例如,柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性),一些证明出了错(如波尔查诺对连续函数介值性的证明),人们才发现对实数特别是无理数的认识仍然模糊不清,这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题。通过他们的努力,终于在将近半个世纪的时间里,建立了多种形式上不同,而实质上等价的严格的实数理论。各种形式的构造性实数理论,都是首先从有理数出发去定义无理数,也就是说,数轴上有理点之间的所有空隙(无理点),都可以由有理数经过一定的方式来确定。然后证明这样定义的实数(原有的有理数和新定义的无理数)具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质,特别是连续性。这些...
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