3点的故事：如何理解对数？ [x]意思为不超过x的最大整数，所以这个数的重点是In50，以e为底，50的对数。 1
什么是对数？ 故事还是要从计算说起，3×7等于多少呢？从乘法定义来看，乘法是加法的升级版，3 3 3 3 3 3 3=3×7=21或者7 7 7=7×3=21，当有多个相同加数相加的时候，我们构造出了一种新的算法：乘法。 所以不管三七二十一就写个21，之所以能够直接得到这个结果，因为我们在构造乘法这种运算的同时也构造出了其简便算法，即： 九九乘法表! 这个对于我们来说倒着背也能像流水一样流畅，所以对于乘法来说，我们是预先根据加法结果制定好了一个乘法表，然后遇到计算参照表上的数据得到结果。 乘法是加法的加法，乘方是乘法的乘法，当我们的计算更高级点，也意味着难度更大了些，通常会记 这样n个a相乘的运算叫做乘方，其中a叫做底数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂。 乘方的逆运算是什么？开方嘛，若 ，逆运算就是 ，就好比加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法一样，一个计算可以从左向右，反之从右向左也会存在。 但乘方有一点不同，我们来看加法：2 3=5，2和3都叫做加数，2×3=6，这里的2和3都叫做乘数，但像2³=8，这里的2叫做底数，3叫做指数，我们可以反过来求底数，这便是我们刚刚所说的开方。 也可以反过来求指数，这就是我们今天要说的：对数！ 对数就是已知底数和幂求指数的运算，这个运算符号我们用log表示，英国数学家约翰·纳皮尔从两个希腊文单词Logos（比）和arithmos（数）构造出了logarithm（对数）这个复合词，log是前三个字母。 根据 指数形式 ，其中a叫做底数，b叫做真数，n称为以a为底，b的对数。 所以从运算的角度来看，对数源于指数，但在历史长河中，对数却比指数更早浮出水面。 2
纳皮尔与对数 16、17世纪，随着天文、航海的蓬勃发展，庞大数字的计算称为一大天文、航海学家的一大难题，在那个没有电子计算器的年代，这个工作简直是要人命啊！于是如何简化计算、提高计算的效率成为当务之急，在这个兼顾时代发展与历史使命的召唤下，对数诞生了！ 从1594年开始，纳皮尔用了整整20年的时间研究对数的运算，终于在1614年出版了《神奇对数表的描述》，给出了对数的定义、性质和应用，并且创造出＂对数＂这一术语。 在纳皮尔的对数系统里，他选择0.9999999作为底数，这和我们今天常用的对数不太一样，所以以0.9999999为底数的对数也称为＂纳皮尔对数＂。 除此之外，以e为底数的对数称为＂自然对数＂，并且为了方便数学，赋予其一个专属符号：ln。在纳皮尔发表对数不久，牛津大学教授布里格斯提出以10为底数，会更适合做计算，以10为底数的对数也称为＂常用对数＂，用符号＂lg＂表示。 那指数呢？在对数发表20多年后，才由笛卡尔确定指数符号，到了18世纪，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，首次使用指数 来定义对数 。 明明是指数的逆运算，却先于指数出现，听起来确实有那么点神奇，但对数发明的初衷并不是作为指数运算的逆运算，而是我们要用对数简化计算，这样也就不奇怪了。 3
如何用对数计算？ 观察两列数： （1）0，1，2，3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10…… （2）1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024…… 不难发现，第一列数是等差数列，第二列数是等比数列，接下来按照顺序在这两列数之间建立起一一对应的关系。 如果取第二列中两个数作乘法，比如取第2位数2和第4位数8,相乘结果会等于第5位数16。同样，取第一列中两个数作加法，比如取第2位数1和第4位数3，相加结果会等于第5位数4。 选取作运算的数顺序是一致的，则结果对应的数顺序也是一致的，而且，只要选择好两列恰当的数，那么这个规律是普遍性的！ 所以在乘法和加法之间也会存在一种对应关系，利用这层关系可以将乘法运算转化为加法运算！ 这便是对数思想的萌芽，我们可以理解第（1）列中的数均为第（2）列中的数的对数，把数的乘法计算转化为其对数的加法计算，从而，简化了计算！ 比如计算16×64，先找一下16对应的第（1）列中的数是4，64对应的第一列中的数是6，4 6=10，所以16×64的结果就是第（2）列中与10对应的数，即1024。如果这个数列能一直写下去，我们就能利用加法快速算出两个超大数乘积的结果！ 当然如果对数字熟悉的话，很容易就看出来，其实第（2）列数就是第（1）列数2的n次幂，那么由指数运算的规则 很容易看破上面的推理. 16是2^4，64是2^6，所以 ，通过指数的运算法则可以推出对数的运算： 用指数的形式来解释计算其实还不够直白，换用对数来来重新阐述上述的计算过程，我们要计算16×64，先取各16的对数，以2位底数，即: 再取64的对数有 其乘积结果的对数为 于是16×64的结果就是2^10，在这个计算中，真正涉及到计算一步仅仅是4 6=10，多么妙的方法呵！ 或许我们很难运用这种转化的妙处，但是在那么尚不知指数为何物的年代里，竟有如此穿越时空的想象力，不得不感叹智慧的力量真是无穷无尽。 我们用乘法来简化加法计算，而如今，我们将再次用加法来简化乘法计算，兜兜转转又回到原点，似乎是冥冥之中自有天意！ 上述例子是以2位底数，而在实际应用中，更普遍地是以10为底数的对数，即我们所说的常用对数。在计算一些较大数的时候，可以先把它转化为以10为底的对数，利用对数规则运算，最后再把结果还原即可。 但好像还有点问题，比如计算520×1314，我怎么知道520和1314的常用对数是多少呢？我们能想到的问题先人们早已给出了解决方案，正如乘法一样，我们怎么知道的3×7的结果？因为有九九乘法表呀！ 所以对数呢？也可以列个对数表撒！ 4
布里格斯与对数表 在纳皮尔发表对数的同时，也给出了一份长达200页的对数表，这一过程，他花了大概20年的时间。几乎在同一时间，另一位数学家比尔吉花了8年时间造出了以e为底的四位自然对数表。 而这里的主角，亨利·布里格斯，在1617年制作出1-1000的14位常用对数表，也是这一年，对数之父纳皮尔永远告别了他挚爱的对数。 1624年，在《对数算术》中，布里格斯把对数表扩大到了包括从1-20000和从90000-100000的常用对数表，还是精确到了14位，利用这样的对数表，可以精确计算出我们想要的结果。中间缺空的20000-90000的对数表在弗拉克的帮助下于1628年制作完成。 （对数表） 有这样一份功能强大的表，遇到较大数字的计算，取对数、查表、得结果，轻轻松松搞定计算，因此，对数的发明也被称为延续了天文学家们的寿命！ 从1594年纳皮尔开始对对数的思考，直到1628年常用对数表的完善，历时30多年，终于开发出对数这一计算的工具，在此后的300多年时间里，对数都发挥着重要的作用，直到20世纪70年代，电子计算器的出现，对数才逐渐淡出计算的视野，完成了其使命后退出了历史舞台。 （对数尺） 虽然哥已退出江湖好多年，但江湖上一直流传着哥的传说！ 谢谢阅读。