科普下三角形的面积公式是什么及三角形面积公式汇总

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　　三角形五心定理
　　三角形的重心外心垂心内心和旁心称之为三角形的五心三角形五心定理是指三角形重心定理外心定理垂心定理内心定理旁心定理的总称
　　一、三角形重心定理
　　三角形的三条边的中线交于一点该点叫做三角形的重心三中线交于一点可用燕尾定理证明十分简单(重心原是一个物理概念对于等厚度的质量均匀的三角形薄片其重心恰为此三角形三条中线的交点重心因而得名)
　　重心的性质：
　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1
　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等即重心到三条边的距离与三条边的长成反比
　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
　　4、在平面直角坐标系中重心的坐标是顶点坐标的算术平均数即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3(Y1+Y2+Y3)/3
　　二、三角形外心定理
　　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心
　　外心的性质：
　　1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点该点即为该三角形外心
　　2、若O是△ABC的外心则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)
　　3、当三角形为锐角三角形时外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时外心在斜边上与斜边的中点重合
　　4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1d2d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘c1=d2d3c2=d1d3c3=d1d2;c=c1+c2+c3重心坐标：(
　　(c2+c3)/2c(c1+c3)/2c(c1+c2)/2c
　　)
　　5、外心到三顶点的距离相等
　　三、三角形垂心定理
　　三角形的三条高(所在直线)交于一点该点叫做三角形的垂心
　　垂心的性质：
　　1、三角形三个顶点三个垂足垂心这7个点可以得到6个四点圆
　　2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线且OG∶GH=1∶2(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline))
　　3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍
　　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等
　　定理证明
　　已知：ΔABC中AD、BE是两条高AD、BE交于点O连接CO并延长交AB于点F
　　求证：CF⊥AB
　　证明：
　　连接DE
　　∵∠ADB=∠AEB=90度
　　∴A、B、D、E四点共圆
　　∴∠ADE=∠ABE
　　∵∠EAO=∠DAC
　　∠AEO=∠ADC
　　∴ΔAEO∽ΔADC
　　∴AE/AO=AD/AC
　　∴ΔEAD∽ΔOAC
　　∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
　　又∵∠ABE+∠BAC=90度
　　∴∠ACF+∠BAC=90度
　　∴CF⊥AB
　　因此垂心定理成立
　　四、三角形内心定理
　　三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心
　　内心的性质：
　　1、三角形的三条内角平分线交于一点该点即为三角形的内心
　　2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一
　　3、P为ΔABC所在平面上任意一点点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
　　4、O为三角形的内心A、B、C分别为三角形的三个顶点延长AO交BC边于N则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
　　五、三角形旁心定理
　　三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做三角形的旁心
　　旁心的性质：
　　1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点该点即为三角形的旁心
　　2、每个三角形都有三个旁心
　　3、旁心到三边的距离相等
　　如图点M就是△ABC的一个旁心三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点一个三角形有三个旁心而且一定在三角形外
　　附：三角形的中心：只有正三角形才有中心这时重心内心外心垂心四心合一