毕达哥拉斯公式（毕达哥拉斯学派的数学成就） 公元前503年左右，古希腊数学家毕达哥拉斯在意大利南部的克罗通创建了一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别——毕达哥拉斯学派，该学派亦称为＂南意大利学派＂，这个学派主要是研究＂哲学＂和＂数学＂，他们当中的大部分人都是自然科学家，他们把美学视为自然科学的一个组成部分，他们的宗旨是：万物皆数，即数是宇宙的本源，毕达哥拉斯学派在数学上取得了卓越的成就，为数学的发展作出了伟大的贡献。 一、数的艺术 毕达哥拉斯学派认为：＂1＂是数的第一原则，乃万物之母;＂2＂是对立和否定的原则，是意见;＂3＂是万物的形体和形式;＂4＂是正义，是宇宙创造者的象征;＂5＂是奇数和偶数，雄性与雌性相结合，也是婚姻;＂6＂是神的生命，是灵魂;＂7＂是机会;＂8＂是和谐，也是爱情和友谊;＂9＂是理性和强大;＂10＂包容了一切数目，是完满和美好。 二、黄金分割：（a：b≤（a+b）：a） 毕达哥拉斯学派不断追求＂美＂的形式，他们认为日、月、五星都是球形，浮悬在太空中，太阳、月亮、星辰的轨道间的距离和地球的距离之比，分别等于三种音程，即八度音、五度音、四度音，这是最完美的立体图形，而圆是最完美的平面图，曾被誉为＂巧妙的比例＂，并被染上各种各样瑰丽色彩的＂黄金分割＂就是由这个学派首先提出的。 毕达哥拉斯学派提出的＂黄金分割＂，又称＂黄金段＂或＂黄金律＂，也叫做＂中外分割＂，黄金分割是指一个线段、一个平面或一个形体分割为a和b两部分，其较小部分a与较大部分b之比等于较大部分b与它们的和之比，其公式为a：b=b：（a+b），这个比例关系的比值大致是0.618：1.其近似值为2：3、3：5、5：8等。 三、万物皆数 最早把数的概念放在突出地位的是毕达哥拉斯学派，他们很重视数学，企图用数来解释一切，宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘，他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了＂五＂这个数，这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，算是一个巨大的进步，在实用数学方面，它使得算术成为可能;在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。 同时，他们任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为＂万物皆数＂＂数是万物的本质＂，是＂存在由之构成的原则＂，而整个宇宙是数及其关系的和谐体系，毕达哥拉斯学派将数神秘化，说数是众神之母，是自然界中对立性和否定性的原则。 在毕达哥拉斯定理被提出后，其学派中的一个成员希帕索斯发现了一个问题：边长为1的正方形其对角线的长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。 小小根号2的出现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，实际上，这一伟大发现不但是对畢达哥拉斯学派的致命打击，而且还颠覆了当时所有古希腊人的传统观念，后来，希帕索斯被毕达哥拉斯投海溺毙。 这一结论的悖论性表现在它与人们的常识发生了冲突：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数，这在当时的希腊是人们普遍接受的信仰！可是完全符合常识的论断居然被小小的根号2给推翻了！这应该是多么违反常识、多么荒谬的事！更糟糕的是，面对这一荒谬，人们竟然毫无办法，这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上的一场大风波，史称＂第一次数学危机＂。 四、勾股定理 毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世，这个定理早已为巴比伦人所知（在中国古代大约是公元前2到1世纪成书的数学著作《周髀算经》中，假托商高同周公有这样一段对话，商高说：＂…故折矩，勾广三，股修四，经隅五，＂商高这段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成＂勾三股四弦五＂，这就是中国著名的勾股定理，）不过在西方，最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯，他是用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理（勾股定理）。 任何一个学过代数或几何的人，都知道毕达哥拉斯定理，这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用，古埃及人利用这个定理来构造直角，他们把绳子按3.4和5个单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形，他们知道所得三角形的最大边所对的角总是一个直角。 毕达哥拉斯定理：给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方等于同一直角三角形两直角边平方的和，反过来也是对的;如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。（勾股定理的逆命题） 五、数论 毕达哥拉斯在数论方面做了许多的研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。 在毕达哥拉斯学派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有一定的几何形状，在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源，因为有了数，才有了几何学上的点，有了点才有线、面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先，自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从＂数的和谐＂，即服从数的关系。 毕达哥拉斯还通过说明数和物理现象间的联系，来进一步证明自己的理论，他曾证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的第五度音和第八度音时，这三条弦的长度之比为6：4：3。 毕达哥拉斯学派也深人地研究了整数的变化规律，例如，把（除其本身以外）全部因数之和等于本身的数，称为完全数（如6.28.496等），而将本身小于其因数之和的数称为盈数;将大于其因数之和的数称为亏数，他们还注意到整数48可以被2、3、4、6、8、12、16、24整除，这8个数都是48的因子，这些因子的和是75;奇妙的是75的因子有3、5、15、25.而它们的和又恰好是48.48与75这一对数叫做＂半亲和数＂，他们还算出140与195也是一对半亲和数，考虑到1是每个整数的因子，把除去整数本身之外的所有因子叫做这个数的＂真因子＂，如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数，就构成一对＂亲和数＂。 220与284是毕达哥拉斯学派发现的一对亲和数，同时也是最小的一对亲和数，因为220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110.而它们的和是284.284的真因子是1、2、4、71、142.其和恰好是220.有人曾经把亲和数用于魔术、法术、占星学和占卦上，使它带有迷信和神秘的色彩，如认为若两个人都佩带上分别写着这两个数的护符，就一定会保持良好的友谊，这当然是非常滑稽可笑的。 六、几何学 在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了＂三角形内角之和等于两个直角＂的论断;研究了黄金分割;发现了正五角形和相似多边形的作法;还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，当然，还有一个重要贡献——勾股定理。 诚然，毕达哥拉斯及其学派的科学探索在某种程度上给后来的自然哲学以及科学的发展带来了一些消极影响，但是，这些失误，并不能掩盖毕达哥拉斯及其学派在自然科学形成和发展过程中起到的积极作用。