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解析高中几何中建立目标函数的十种策略!

  一、前言
  解析几何最值问题能有机地综合中学数学各科知识,一直是高考的一个重要内容,是中学数学的一个难点,也是考生的一个主要失分点。总体上讲,求解解析几何最值问题不外乎两种方法:一是代数方法,即建立目标函数(目标函数是指所关心的目标(某一变量)与相关的因素(某些变量)的函数关系)求解;二是几何方法,即利用图形直观求解。大多数解析几何最值问题可通过建立目标函数求解,那么应当如何建立目标函数?首先,建立目标函数时,应根据题意分清题中的量哪些是变量,哪些是常量;其次,选择因变量和自变量的关系,即根据所给条件建立函数关系式。目标函数建立得当,常能简化解题过程。笔者通过实践,归纳总结了建立目标函数求解解析几何最值问题的十种常用策略。
  二、策略分析
  策略一:以形助数,直观简明
  建立目标函数是代数方法,但数与形不能隔裂分家。只有数与形的完美结合,才能领会数学的真谛。
  例题01
  策略二:巧妙分割,化整为零
  分割是一种化整为零的转化方法。在解析几何中某些与面积有关的最值问题,恰当使用分割法,往往会获得独具特色的简捷解法。
  例题02
  策略三:巧用对称,不算而解
  圆、椭圆、双曲线、抛物线、都具有对称性,在求解有关最值问题时,挖掘潜在的对称性解题,可减少运算量,简明、快捷、优美地获解。
  例题03
  策略四:巧用圆心,合理转化
  圆是解析几何的基本图形之一,它既是中心对称图形,也是轴对称图形。在解决与圆有关的问题时,善于抓住圆心,可使问题迅速得到解决。
  例题04
  策略五:方程搭桥,迅速沟通
  直线、圆、椭圆、双曲线的参数方程都是三角形式,因此有关最值问题,可以借助它们的参数方程,把问题转化为三角函数最值问题,灵活运用三角函数知识,问题迎刃而解。
  例题05
  策略六:细察结构,平几开路
  把解析几何最值问题转化为平面几何中的最值问题,能充分利用平面几何技巧性强,运算量小的特点。
  例题06
  策略七:借助射影,降维处理
  利用点或线段在坐标轴上的正投影来解题,化两点间的距离(二维)为有向线段的数量的绝对值(一维),思路简洁、运算简便。
  例题07
  策略八:借助定义,化难为易
  圆锥曲线的定义刻画了动点与定点(或定直线)距离之间的定量关系,因此与距离有关的解析几何最值问题,借助定义,往往能化难为易。
  例题08
  策略九:借助复数,化解旋转
  与旋转有关的解析几何最值问题,借助复数建立目标函数,往往是很方便的。
  例题09
  策略十:二元目标,整体把握
  解析几何中的许多最值问题,可建立二元目标函数,归结为几个正变量和的最小值或积的最大值,创造性地利用基本不等式,直达彼岸。
  例题10

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