天生我材必有用逻辑数学智能

　　第一个注意到7条鱼与7天这两组数字之间相似之处的人，在思想史上迈出了一大步。他是第一位拥有纯数学科学概念的人。
　　有一天，一名将要成为数学家的儿童，在自己面前看到了一组物体，他决定数一数，数完之后确信有10个。然后，他按照不同的顺序，又将这些物体逐个再数一遍，发现结果仍然是10个。这名儿童把这样的程序重复若干次之后，越来越兴奋，因为他开始理解了（彻底地理解了），10这个数字绝对不是这种重复练习得出的任意结果。这个数字涉及所有元素的总计，只要各个元素都被数到，而且只数一次，那么无论它们在序列中的排列如何，结果都是一样的。这名儿童通过对一组物体游戏般地数来数去之后，学到了（正如我们每一个人在某个时候一样）关于数字领域的基本知识。
　　一个人先从物体到表述，从行为再到行为之间的关系，从感觉运动的领域到纯粹抽象的领域，最终，达到逻辑与科学的高度。这根链条是长而复杂的，但却不一定是神秘的，逻辑、数学与科学思维的最高境界，其根源仍在人的童年时代与客观物体的简单互动之中。
　　能为代数方程式的两边增加符号，并确信方程式仍然是成立的。这种符号处理的能力，是较高数学分支的实质性的能力。这些符号代表了物体、相关性、功能或其他的运算。而此时参与运算的符号，可能是词汇，就好像在进行演绎推理、科学假设或其他形式的程序时一样。建立在方程式基础上的运算，对于任何记得中学数学的人来说，都不陌生。而在文字领域中，逻辑推理的运用，则需要和我们前面遇到的语言修辞区别开来。当然，一个人能够很容易进行与常识相一致的逻辑推理。然而相同的推理规则，同样也可运用到明显毫不相关的表述中去。
　　连三岁的幼儿都能理解：假如拉一下杠杆A，就会发生事件B。然而在纯符号层面上的这种类似的推断，却要好几年的时间才能够发展起来。而第二层次和更高层次的运算，只有在青春期阶段才有可能进行。如果幸运的话，如果大脑细胞也允许，青春期以后也能进行。而且这种运算有时会达到高度的复杂程度，以至于除非是具有较强能力的人，否则将无法弄懂这种推理链条里的过程。
　　皮亚杰从感觉运动行为，到具体运算，再到形式运算过程的描述，也是发展心理学全部研究得出的最佳的成长轨迹。
　　按照皮亚杰的看法，这种发展序列在所有的发展领域中，包括他特别感兴趣的康德哲学范畴的发展领域时间、空间及因果关系中，都是通行的。皮亚杰的基本发展阶段，就像巨大的认知波浪，自发地将自己的认知原则和方式，扩展到所有重要的认知领域中去。对皮亚杰来说，逻辑数学思维就是将所有的认知聚集在一起的黏合剂。
　　庞加莱提出了这样一个有趣的问题：如果说数学中所包含的，仅仅是所有正常的头脑都能接受的逻辑法则，那么为什么还有人感到数学难懂呢？为了得出这个问题的答案，他要求我们设想一系列的演绎。其中，每一个结论都是下一次推理的前提。由于我们从某项结论提出下一个命题的时刻，与我们在下一次推理过程中使用它作为前提条件之间，有一段空白的时间，所以在这一系列演绎推理的链条上，可能有几个联结点分离，或者说，我们也许会忘掉或无意中改变了推理的前提条件。假如这种记忆与使用前提条件的能力，就是数学智能的必备条件，那么（庞加莱的推断），数学家只需要有一个可靠的记忆或天赋的注意力就够了。然而许多数学技巧娴熟的人，在记忆力或注意力方面并无突出之处。恰恰相反，许许多多拥有出色的记忆力或极强注意力的人，却没有数学能力。
　　庞加莱证明，数学家之所以能在复杂的推导过程中保持良好的记忆力，是因为这种记忆力是由这个推导过程指引着的：数学证明并非只是演绎推理的简单排列，它是按照某种秩序排列的一种演绎推理过程。这些演绎推理所需要的条件的排列顺序，比这些条件本身重要得多。如果说，我拥有对这个排列顺序的感觉和直觉，以至于一眼就能看出推导的全部过程，我就不必害怕自己会忘掉其中的某一个条件了：因为每个条件在推导的顺序中都有自己固定的位置，我根本不需要费力去记忆它们。
　　这样，庞加莱就区别了两种能力。一种是对推导链条上每个步骤的纯记忆能力，这种能力足以使人记住特定证明的过程；另一种能力，按照他的观点，是更加重要的一种能力，就是对于命题之间联系的特征加以鉴别的能力。如果感知到这些联系，那么证明过程中每一个步骤的准确身份，就不那么重要了。因为如果必要的话，可以重建这些步骤甚至重新设想新的步骤。
　　数学天才用恰当的符号记录问题的能力，表明不论问题的内容如何。这说明他表现出一种其他人所没有的直觉的能力。他的一位同事说：他差不多立刻就能明白其中的内容，而且给出证明这个定理的方法，或者给出如何用已有的定理去替代它的方法。
　　一名具备极其灵活头脑的年轻人，对科学领域做了全面的概括，并在几类直觉的帮助下，将科学成就纳入恰当的格局中去。牛顿用了一种使皮亚杰学派的人们高兴的方式，假设了一个时间与空间的抽象框架，物质世界就按照一套不变的法则，在这个框架之中逐渐展开。
　　留给最伟大的科学家去完成的任务，是提出前人从没有提出过的问题，然后自己得出问题的答案，最终永远改变了科学家最终也改变外行人解释世界的方式。
　　只要有市场经济的存在，那么人们就完全有能力为自己的利益讨价还价，完全有能力在某种货物能赚钱或赚大钱的情况下，从事该项交易。只要物品的分类能力在什么地方显得重要，不论是植物学的原因还是社会的原因，那个地方的人就有能力提出细致的、分等级的组织系统，并且能恰当地运用这些系统。什么地方需要能够规范并统一人类行动的日历，或需要迅速、可靠的运算工具如算盘，那里的社会就能发明解决这类问题的方式，起码与我们的方式同样合适。
　　原始人跟踪猎物的过程，包含了推测与检验假设的模式，以及需要运用人的头脑中最好的推测与分析能力，才能做出的发现。凭动物的足迹就确定它们的动向，确定自己行动时机，确定动物是否已经负伤。如果负了伤，又是如何负伤的。还要推测它们能跑多远，沿着什么方向，跑多快。所有这些都需要反复不断提出新的假设，并用新的资料去验证这些假设，使之与先前所了解的关于动物的动向相结合，否定站不住脚的部分，而最终才得出合理的结论。
　　在学校里，人学会了处理自身所处的情境以外的信息，学会了思考众多抽象的观点，并在假设的基础上探索它们之间的关系，弄清一整套理念，而无论谁提出了这些理念，也无论提出这些理念的语气如何。人们还学会了批评，学会了发现矛盾与解决矛盾的方式。一个人还必须有积累知识的能力，有对当时并无兴趣的表述进行判断的方法，具备找出原先似乎并无关系的两类知识之间关系的能力。对来自序列推理与现实相联系的抽象思考的重视，对客观的文字、阅读以及测验的逐渐熟悉，最终会培养出熟知科学与数学原理的人，培养关心自身观点和行为与小范围的标准是否一致的人。