模型构建，面积转化，聚焦二次函数背景下面积最值问题

　　图形面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的角形式。
　　二次函数中的几何图形面积问题是近几年中考的重要考查题型，其中涉及抛物线性质，几何图形面积、最值分析等核心知识点，对于不同的面积情形，所采用的面积模型构建、转化方式也有较大的差异。
　　常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。
　　O典型问题
　　例1（2020秋盐城期末）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P做x轴的垂线交抛物线于点E
　　（1）求抛物线的解析式；
　　（2）当P在何处时，ACE面积最大
　　例2（2020秋淮安区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx5交y轴于点A，交x轴于点B（5，0）和点C（1，0），过点A作ADx轴交抛物线于点D
　　（1）求此抛物线的表达式；
　　（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求EAD的面积；
　　（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，四边形OAPB的面积最大，求出此时点P的坐标
　　【解析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式是yx24x5；
　　（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得EAD的面积为20；
　　例3（2020秋成华区期末）如图，抛物线yax2bx4（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E
　　（1）求抛物线的表达式；
　　（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若SPBC35SABC，求点P的坐标；
　　（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与OBC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由
　　【解析】（1）抛物线的表达式为yx23x4；
　　（2）过点P、A分别作直线m、n，使两条直线均与BC平行，则CN5，
　　由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为yx4，
　　而mBC，则直线m的表达式为yx7，
　　联立并解得x1或3，
　　故点P的坐标为（1，6）或（3，4）
　　（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MNEM，MNNE，NEEM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与OBC相似，点M的坐标为：
　　O总结反思
　　解决动点产生的面积问题，通常解决此类问题的关键是用未知数表示出图形的面积，再解决问题
　　因此，第一步一般需要设出动点坐标（或用条件中的动点坐标），再选择适当的方式求图形的面积（三角形或四边形），然后用未知数表示出需要求的线段的长度，再得出结论
　　常用到的知识和方法有：
　　（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样规则的三角形的面积，直接用面积公式
　　（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样不规则的三角形的面积，用割或补的方法
　　（3）同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等
　　（4）同底三角形的面积比等于高的比
　　（5）同高三角形的面积比等于底的比
　　O教学建议
　　1。认真审题，把握问题图像的结构特点
　　函数背景下的面积最值问题属于中考典型的综合性问题，理解题干条件，把握图形特点是解题的关键，因此解题时需要认真审题，深入读图，审题时，需要结合题干的文字信息来理解图像特征，包括曲线与直线的位置关系、动点的移动轨连、几何图形的顶点位置，以及区分图像中已知与未知的条件。
　　2。合理选法，理解问题解法的本质
　　合理选定方法是破解面积最值问题的重要环节。对于位置、顶点特殊的图形，则可以采用直接构建的方式，而抽象且顶点一般的三角形则可以采用转化法，常用的方法有面积割补法、相似转化法、等积转化法等，这些方法适用于不同的问题图形学习时，需要深刻了解方法的本质，所用方法实则为等价转化，其中渗透着模型思想和转化感想，理解方法的思想内涵才能准确地选定方法、构建思路，因此，教学中需要对面积问题的解法加以归纳，引导学生理解方法的内涵，掌握方法的使用技巧。
　　3。重视思辨，提升学生解决问题的思维能力
　　提升学生的数学思维能力是考题教学的重点所在，尤其是历年的中考压轴题，具有极高的研究价值教学中，教师需要引导学生对考题进行整合，针对此类问题的解法进行辨析、探究，整体上把握问题的解析策略，如面积问题中需要关注问题的模型构建方法、最值分析方法同时，重视问题中的数形结合方法，合理利用数形结合分析策略来突破考题。而在考题辨析过程中，则要多引导学生思考条件与问题之同的联系，解题方法与问题特点之间的关联，形成从问题特点入手，方法思想构思路的解题策略。