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素数公式(由词目及其释义等构成的中文知识性百科条目)

4月24日 吴正 投稿

  质数公式,又称素数公式,在数学领域中,表示一种能够仅产生质数(素数)的公式。即是说,这个公式能够一个不漏地产生所有的质数,并且对每个输入的值,此公式产生的结果都是质数。由于质数的个数是不可数的,因此一般假设输入的值是自然数集(或整数集及其它可数集)。   迄今为止,利用程序人们已经找到易于计算且符合上述条件的质数公式,但对于质数公式应该具备的性质已经有了大量的了解。   定理简介   素数定理描述素数的大致分布情况。   素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看,素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看,素数的个数竟然有规可循。对正实数x,定义(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计(x)的增长。以下是第一个这样的估计。(x)xlnx其中lnx为x的自然对数。上式的意思是当x趋近,(x)和xlnx的比趋近1(注:该结果为高斯所发现)。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。下面是对(x)更好的估计:(x)Li(x)O(xe((lnx)(12)15),当x趋近。其中Li(x)(dtlnx2,x),而关系式右边第二项是误差估计,详见大O符号。下表比较了(x),xlnx和Li(x):x(x)(x)xln(x)Li(x)(x)x(x)   素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计::p(n)~nlnn。它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个,它是素数的概率大约是1lnn。这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(JacquesHadamard)和比利时数学家普森(CharlesJeandelaVallePoussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析,尤其是黎曼函数。因为黎曼函数与(x)关系密切,关于黎曼函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证,...(全文)

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