皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。
公式
皮亚诺算术(PA)的公理:
x(Sx0)。x,y((SxSyxy)。,对于在PA的语言中的任何公式。x(x0x)。x,y((xSys(xy))。x(x00)。x,y(xSyxyx)。
方法叙述
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:
1是自然数;
每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a,a也是自然数(数a的后继数a就是紧接在这个数后面的数(a1),例如,1’2,2‘3等等);
如果b、c都是自然数a的后继数,那么
1不是任何自然数的后继数;
任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设,保证了数学归纳法的正确性)
若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。
更正式的定义如下:
一个戴德金皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X,x,f):
X是一集合,x为X中一元素,f是X到自身的映射;
x不在f的值域内;
f为一单射;
若A为X的子集并满足:x属于A,且若a属于A,则f(a)亦属于A,则AX。
该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1P(自然数集)不是空集;
2P到P内存在aa直接后继元素的一一映射;
3后继元素映射像的集合是P的真子集;
4若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合。
这四个假设能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳...
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