五条长度相等的线段,首尾相连构成的一个封闭形状且内角相等的平面图形叫正五边形。正五边形每个角均为108,每条边长度相等。正五边形是旋转对称图形,但不是中心对称图形。
定义
正五边形是指五个边等长且五个角等角的五边形,其内角为108度,是一种正多边形,在施莱夫利符号中可以用来表示。
正五边形的中心角为72度,其具有五个对称轴,其旋转对称性有5个阶(72、144、216和288)。
高边长边长
宽边长边长
对角线长
其中R为外接圆半径。
边长为t的正凸五边形面积可以将之分割成5个等腰三角形计算:
正五边形不能镶嵌平面,因为其内角是108,不能整除360。截至2015年,已知有15种凸五边形镶嵌平面,还未知道是否尚有其他的凸五边形。
面积公式推导
正多边形的面积公式为:
其中,P是周长、r是边心距。正五边形的P和r可由三角函数计算:
其中,t是正五边形的边长。
内切圆半径
正五边形是一个圆外切多边形,因此有内切圆。其内切圆半径与边心距相同,并且可以尤其边长来决定。
其中,r为内切圆半径与边心距相同、t为正五边形边长。
构造
里士满提出了一个构造正五边形的方法,并且在克伦威尔的《多面体》中被近一步讨论。。
先利用单位圆决定五边形的半径。C为单位圆圆心,M是圆C半径的中点。D是位于垂直于MC的另外一条半径的圆周上。作角CMD的角平分线,令Q为角CMD的角平分线与CD的交点。作过Q平行于MC的直线,令之与圆C相交的交点为P,则DP为正五边形的边长。
这条边的长度可以利用圆下方的两个直角三角形DCM和QCM。利用勾股定理,较大的三角形斜边为。小三角形其中一股h可由半角公式求得:
其中,角可由大三角形求得,其值为:
由此可得到在下图正五边形的边长...
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