摆线(cycloid)是数学中众多的迷人曲线之一被定义为,一个圆沿一条直线运动时,圆边界上一定点所形成的轨迹。它是roulette曲线的一个例子。摆线的研究最初开始于NicholasofCusa,之后梅森(MarinMersenne)也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年G。P。deRoberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。
定义
一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹,又称旋轮线。
圆上定点的初始位置为坐标原点,定直线为x轴。当圆滚动j角以后,圆上定点从O点位置到达P点位置。当圆滚动一周,即j从O变动2时,动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周,动圆上定点描画出第二拱,继续滚动,可得第三拱,第四拱,所有这些拱的形状都是完全相同的,每一拱的拱高为2a(即圆的直径),拱宽为2a(即圆的周长)。摆线有一个重要性质,即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时,若沿着A,B间的摆线,滑落所需时间最短,因此摆线又称最速降曲线。
性质
到17世纪,人们发现摆线具有如下性质:
1它的长度等于旋转圆直径的4倍。尤为令人感兴趣的是,它的长度是一个不依赖于的有理数
2在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍。
3圆上描出摆线的那个点,
具有不同的速度事实上,在特定的地方它甚至是静止的。
4当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们会同时到达底部
方程式
xr(tsint)
;yr(1cost)r为圆的半径,t是圆的半径所经过的角度(滚动角),当t由0变到2时,动点就画出了摆线的一支,称为一拱。
争议
摆线最早出现可见于公元1501年出版的C鲍威尔的一本书...
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