自守数是指某个数的平方的末尾几位数等于这个数的数。
简介
定义:自然数n称为p进制下的自守数当且仅当n(n1)能被pm整除其中m1〔logpn〕。取p10时即为此自守数的定义。
0和1的平方的个位数仍然是0和1(对任何p进制),称为平凡自守数。
注意:当p为素数时,只有平凡自守数。
显然,5和6是一位自守数(5x5256x636)
25x2562576x765776,所以25和76是两位自守数。
自守数有一个特性,以他为后几位的两个数相乘,乘积的后几位仍是这个自守数。因为5时自守数,所以以5为个位数的两个数相乘,乘积的个位仍然是5;76是自守数,所以以76为后两位数的两个数相乘,其结果的后两位仍是76,如176x576101376。
三位自守数是625和376,四位自守数是0625和9376,五位自守数是90625和09376。。。。。。
我们可以看到,(n1)位的自守数出自n位的自守数。由此得出,如果知道n位的自守数a,那么(n1)位的自守数应当由a前面加上一个数构成。(仅对p的素因子个数为2时适用)
实际上,简化一下,还能发现如下规律:
5611
2576101
6253761001
。。。。。。
定理(自守数的对称性):设n为非平凡自守数,m为最小的使得pmn的数,则spm1n是自守数
证明:观察易发现,因为n1,则pms,我们取模pm的同余,有(pmn)(pm1n)(n)(1n)n(n1)0,最后一个同余号成立是因为n为自守数
注记:其实对于平凡情形,这个定理也成立,如0是自守数,则101也是自守数。
定理(没有给出证明,欢迎补充):设p的不同的素因子个数为n,则大于pm小于p(m1)的自守数的个数为2n2个
推论,p10时,n位数的自...
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