自然数包括什么（自然数集包括哪些）
方程
一、等式：
1、概念：表示相等关系的式子叫做等式（即含有等号的式子）。
2、性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式；
（2）等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
3、等式与方程的关系：方程一定是等式，等式不一定是方程。等式范围﹥方程范围
二、方程：
1、定义：含有未知数的等式是方程。
2、解方程：求方程中未知数的过程，叫做解方程（＂解＂）。
注意：（1）解完方程，要记得检验
（2）方程的解：
3、列方程解应用题：（＂解＂＂设＂）
（一）一般步骤（1）审题，找出关键信息；
（2）根据关键信息找数量关系；
（3）根据数量关系列方程解答；
（4）把结果看作已知信息进行检验。
（二）主要依据
（1）常见的数量关系：单价×数量=总价
速度×时间-路程（可利用线段图找到等量关系然后解题。）
工作效率×工作时间=工作总量
（2）平面图形计算公式：正方形周长=边长×4； 正方形面积=边长×边长
长方形周长=（长+宽）×2； 长方形面积=长×宽
平行四边形周长=（长+宽）×2；平行四边形面积=底×高
三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2
（3）
几倍多（少）几的问题：先确认一倍量是已知还是未知，若未知，顺着
一倍量×几倍 +多（少）=比较量，这一关系式列方程解答比较容易。
和（差）倍的问题：一般设＂1份＂（或一倍量）为x，另一个是它的几倍
就为 ＂几＂x，再根据其加减关系（和或差）列出方程。
注意（1）解方程要写＂解＂；
（2）列方程解应用题要写＂解＂＂设＂
（3）三个连续自然数（或连续奇数、连续偶数）的和，等于中间数的3倍。
折线统计图
分类：单式折线统计图（优点：便于观察数量的多少及事物的增减变化情况。）
复式折线统计图（优点：便于观察两组数据的大小关系及数据的增减变化情况。）
画法：描点、标数据、连线、写日期
因数与倍数
一、定义：
概念：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
定义：如2×5=10，称5和5都是10的因数，10是2的倍数，也是5的倍数。
注意：
（1）因数与倍数互相依存，不能说10是倍数，5是因数；
（2）为了方便，我们在研究因数与倍数的关系的时候，所说的数指的是自然数（一般不包括0）
（3）找一个数的因数的方法是：列除法算式或乘法算式找；（从小到大）
（4）一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；
（5）找一个数的倍数的方法：列乘法算式找；（从小到大枚举）
（6）倍数的个数有无限个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数
二、2、3、5的倍数
1、2的倍数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
注意：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
0是最小的偶数
2、5的倍数的特征：个位数字是0、5的数都是5的倍数。
注意：个位数字是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
3、3的倍数的特征：各位上的数字和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
注意：求要满足多个条件的倍数，先看2、5，后看3。
练习：有三个数字0、6、9，按要求组成两位数.
和与积的奇偶性
整数和与积的奇偶性
100以内的质数
思考：如果让你找出100以内的质数，你会如何一步一步缩小范围呢？
质数与合数
一、定义：
质数：只有1和它本身两个因数，像这样的数就叫做质数。
{100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97}
如何判断一个数是否是质数：用试除法判断一个自然数a是不是质数，用从小到大的各个质数依次去除a，如果到某一个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，则可以断定a必然是质数。
合数：除了1和它本身还有别的因数，像这样的数就叫做合数。
质因数：如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。
注意：（1）1既不是质数，也不是合数；但它与任何整数都是互质数。
（2）2是最小的质数，2是唯一偶质数；（分清偶质数和奇质数的概念）
（3）4是最小的合数；
（4）5是唯一一个个位为5的质数；
（5）100以内共25个质数，74个合数
（6）★两个不同的质数的和是奇数，其中一个质数一定是2（根据和的奇偶性来理解）
（7）★两个不同的质数的和是偶数，这两个质数都是奇数
（8）三个不同的质数相加，和为偶数，这三个数一定是2和两个奇质数。
（9）10以内的质数个位只能是1、3、7、9
（10）绝对质数：一个两位质数，个位和十位交换后还是质数。
（例如：11、13、 31,17、71、37、73、79、97）
分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数连续相乘的形式。
注意：（1）分解到因数全部为质数为止；
（2）一个数分解质因数的结果是唯一的；
（3）最终结果要写成用指数表示质因数相乘的形式 （2³，指数是3，表示3个2相乘）
2、方法：（1）逐次法（2）短除法
注意：（1）先把要分解的数写在短除号＂∟＂里；
（2）从质数表中从小到大依次尝试，直到商是质数为止；
（3）最后把每个除数与最后的商写成连乘的形式。
3、题型：已知乘积反求原数
（1）先把积分解质因数（2）用质因数凑因数
公因数
一、定义：公因数：几个数公共的因数，其中最大的一个称为最大公因数。
二、表示：通常，把两个数a，b的最大公因数记为（a,b），例如（12,8）=6
三、求最大公因数的方法：
（一）短除法：用短除法求最大公因数，最后除到两个数互质为止，短除号左边的所有数相乘得最大公因数，短除式最后两个商一定要互质。
注意：（1）公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
（2）a和b是互质数，且a＜b，则它们的最大公因数是 a，最小公倍数是a×b；
判断两数互质的方法：
（1）两个不同质数一定是互质数；
（2）相邻的两个自然数一定是互质数；
（3）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数；例如3与10、5与26；
（4）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。
（二）列举法：一般关系的两个数求最大公因数用该法
四、注意：
（1）1为所有非零自然数的公因数。
（2）两个数的公因数都是它们最大公因数的因数；
（3）倍数关系的两个数，最大公因数就是这两个数中较小的一个；
（4）两个数是互质数，最大公因数是1；
（5）一般已知被除数求除数，就是求公因数，
问至多是多少，就是求最大公因数（最多、最大）
公倍数
1、定义：几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数。
2、表示：a、b的最小公倍数记为[a、b]
3、注意：
（1）两个数的公倍数就是它们最小公倍数的倍数；
（2）倍数关系的两个数，最小公倍数就是这两个数中较大的一个。
（3）两个数是互质数，最小公倍数是这两个数的乘积。
（4）用短除法求最小公倍数，最后除到两个数互质为止。短除号外所有数相乘得最小公倍数。
（5）对于被除数未知的情况，一般是求公倍数。（最少、最小、至少）
分数的意义与性质
定义：把单位＂1＂平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作＂分数＂。表示其中 一份的数，叫作分数单位。、
单位＂1＂：一个物体、一个计量单位、或一个整体性的群体等都可以用自然数1来表示，通常叫作单位＂1＂。（＂占＂或＂是＂后面的通常是单位＂1＂）
分数表示两个同类数量的关系，或部分与整体的关系。
分数后面有单位，表示具体的数量；没有单位，表示分率。
分数与除法的关系：两个数相除也可以用分数表示。被除数相当于分子，除数相当于分母。a÷b= (b≠0)
除法与分数的关系
应用（1）求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。（用分数表示除法的商）
方法：＂占＂字前面的数除以后面的数写成分数。
（2）分数与小数的相互转化与比较
2、分类
（1）真分数：分子﹤分母的分数。
（2）假分数：分子≥分母的分数（包含带分数和1）
带分数：由非0整数和真分数合成的数，是假分数的另一种表示形式。
注意：（1） 带分数的分数部分都是真分数。
（2）比较大小：0﹤真分数﹤1≤假分数
★带分数与假分数的互化
（1）假分数化带分数：
假分数化带分数
注意：余数为0时可以化为整数
（2）带分数化假分数 ：
带分数化假分数
3、约分与通分
（一）依据：分数的基本性质：（类比除法中商不变的性质）
分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
（同乘—扩分；同除—约分）
（二）约分：把一个分数化成同它相等，且分子、分母都比较小的分数，叫作约分。
最简分数：分子、分母只有公因数1的分数叫作最简分数。
注意：约分时，通常要约成最简分数。
（将原分数分子和分母直接同时除以分子和分母的最大公因数）
过程：
约分过程
方法：设份法
（三）通分：把几个分母不同的分数（也叫作异分母分数）分别化成和原来分数相等的同 分母分数，叫作通分。
公分母：相同的分母叫作公分母。
注意：通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。
（四）应用—分数比较大小
（1）同分母异分子分数比较大小：分子大的分数比较大；
（2）异分母分数比较大小：通分子：分子相同，分母小的分数比较大；
通分母：分母相同，分子大的分数比较大。
注意：通分子一般适用于分母较大，且不易通分时。
四、分数与小数的互化：
1、分数化小数：用分数和除法的关系把分数写成除法算式，再计算，除不尽按要求保留小数。（用分子除以分母，将分数转化为除法算式，计算商；）
2、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…然后化简。（小数化为分数：数小数位数，一位小数，分母是10；两位小数，分母是100…）
注意：小数化分数后，能约分的要约成最简分数。
常见的分数与小数：
常见的分数化小数
分数的加法与减法
一、同分母分数加减法：
方法：分母不变，分子相加减。
注意：结果是最简分数
二、异分母分数加减法：
方法：先通分，再按照同分母分数加减法进行计算。
注意：结果一定要约分到最简分数。
三个或多个异分母分数相加、减：先通分两个分数，然后再通分第三个分数；也可以三个分数同时通分，与找两个分数的公分母的方法是一样的。
带分数加、减法：
方法：带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得结果合并起来。
分数基本性质的应用1
分数基本性质的应用2
分数加减法混合运算
分数加减法运算顺序：
无括号时，按照从左向右的顺序计算；
有括号时，先算括号内，再算括号外。
分数简便运算：
原则：利用加减法运算定律进行简便计算（先找同分母分数，再用运算律。）
利用加法交换律和结合律进行凑整巧算；
（把分母相同的分数先进行加减法计算）
整数、小数中去括号的规则在分数中同样适用。
利用添、去括号巧算。
利用连减性质凑整计算；（带符号搬家和连减性质）
利用加法交换律和加法结合律进行分组凑整计算
4、分数与小数的混合运算：如果分数能化成有限小数，通常把分数化成小数计算较为简单；如果分数不能化成有限小数，应把小数化成分数再计算。
分数的应用
圆的认识
一、圆的概念
1、圆的定义：
（1）在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。这个定点叫做圆心。
（2）当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
2、圆的外形特点（或性质）：
圆是平面轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线（或直径所在的直线）；
圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
圆由曲线组成，没有顶点。（其他多边形由线段组成，有顶点）
3、圆的画法：
画圆时，先设定好针尖与笔尖的距离（即圆的半径），针尖固定在一点（圆心O），转动笔尖转一圈即完成一个圆。
4、圆的组成：
圆的组成
5、圆的影响因素：
定位：圆心
大小或尺寸：半径或直径
6、圆的计算
圆的计算
常见的Π值
周长的计算：
（1）半圆的周长=圆周长的一半+直径
（2）不规则图形的周长：
确定组成：先确定周长由几条曲线或线段组成；
分解或组合：再通过分解或组合
计算：应用圆的周长公式计算出结果。
线捆等圆问题：周长的组成一定都包含一个圆。
注意：几个等圆必须依次紧密捆在一起。
奥数内容
面积的计算:
已知半径或直径求面积：直接代入公式；
已知周长求面积：先求出半径，再求面积；
求扇形的面积：求出扇形所在圆的面积，再看扇形面积是圆面积的几分之几，从而求出扇形的面积。
圆的面积=圆的面积÷2
圆的面积÷4
圆的面积÷4×3
不规则图形的面积：利用割补法，将图形拆分、重组，转化为规则图形求解。
圆环、半圆环、扇环
圆环的相关面积公式
求阴影部分面积：
整体减空白求面积：
割补法求面积
7、圆的相关概念