三角形面积（面积公式大全）

　　三角形面积（面积公式大全）原创2021060907：25Da2题如标题。
　　第一反应这个命题是假的。因为最朴素的思想，大名鼎鼎的海伦公式，用三角形三边长求面积，即：
　　公式中a，b，c是三角形三边长度，p是三角形周长的一半，S是三角形面积。显然，这里虽然确定了S和2p，得到了关于a，b，c的两个方程，但未知数是三个，那么通常来说，解是不唯一的。
　　当然，证明一个命题是假的，只需要找到一个反例。从教科书和网上不难找到现成的反例，比如下面两组反例：
　　【1】边长分别为【17，25，28】和【20，21，29】的两个三角形。
　　【2】边长分别为【4，11，11】和【7，7，12】的两个三角形。
　　虽然对于一道判断题来说，一个反例就可以判断出对错。但本着料敌从宽的思想，万一下次的题目改成：给定一个三角形，找出和这个三角形周长和面积都一致但跟它不全等的三角形。上面的反例就没有用了。接下来就是研究这个问题：
　　可以肯定，如果存在这样的三角形，那么是无穷多个，三角形是一个解集。还是从海伦公式出发，两个方程，三个未知数（三边长）。所以其中一条边长是自由变量，就是在合理的范围内自由取值。
　　所谓合理，就是那些朴素的几何条件，比如：三角形边长是正实数，三角形任意一边的长度小于半周长p（否则三边形成不了三角形）。选定其中一条边为自由变量之后，三角形的其余两边由两个方程约束，可以求得确定的表达式。
　　总结一下，就是：以给定三角形A的周长2p和面积S，及待定三角形B在合理范围内选定的一边长，可以求得B的另外两条边的表达式。这样就得到了三角形B的形式解。
　　所谓形式解，就是解的合理性仍需验证。因为的表达式中往往含有根式，如根式内的值是负实数，则开根式就会得到含虚部的复数。这样的结果是不合理的，因为平面图形的空间是空间，一个含有虚部的复数是无法在这个空间内标记的。若得到这样的结果，说明的取值不合理，需要重新选取。
　　形式解若通过了合理性验证，就得到了一个合理的三角形B。
　　上面叙述的方法整理为下面的计算过程：
　　【1】首先给定一个三角形（三角形A），即给定三角形的三边长：
　　计算A的半周长和面积（由海伦公式）：
　　【2】然后对于待求的三角形B，给定其中一边的长度：
　　计算B的半周长和面积（由海伦公式）：
　　其中，因为半周长相等，所以这里求面积使用的是A的半周长，这样表达式中将尽可能多地出现已知数据，对后续解方程有利。
　　【3】解方程组：
　　根据已知条件，得到方程组｛｝，其中是选定的，未知数为，这样就可以解得未知数的解析式。解这个方程组过程复杂，这里直接写出结果（经过整理）：
　　结果中：为给定的三角形A的三边长；p为半周长；为待定三角形B首先确定的一边的长度。
　　若有必要，这里可以通过以下不等式组求出m的取值范围：
　　（1）结果为实数，则：（此不等式并不好解）
　　（2）边长为正数，则：mgt；0
　　（3）三角形边长小于半周长，则：mlt；p
　　通过上述不等式组，可以求得m的具体取值范围。此时得到的就是通解：
　　即满足上述表达式的所有合理的解都是满足题目要求的三角形。
　　当然，如果具体找出一个特解（找出具体的某一个三角形），则求m的范围不是必须的，因为可以尝试取初值，计算得到形式解，形式解经检验合理，就是最终解。
　　【4】具体求出一个例子：
　　这里选定一组数据，找出一组三角形：
　　选定三角形A的三边为：3，4，5（显然这是一个经典的直角三角形）。
　　选定三角形B的一边为：
　　套用上面的公式，可得：
　　可以验证，以为三边长度的三角形B的面积为6，周长为12。周长和面积数据与三角形A一致。但显然，三角形A和三角形B不是全等的，因为最基础的三边就不相等。
　　最后，再从直观的几何角度看待这一问题：
　　前面【1】到【4】部分基于代数方程的方法对于中学生理解这一结论有一定的困难。本部分基于直观的平面几何知识，构造出两个三角形，它们的周长和面积一致，但不全等。
　　几何方法主要基于椭圆的一个定义：一动点到两定点距离之和为定值，该动点的轨迹为椭圆。
　　首先，将待定三角形B首先选定的当作椭圆两个焦点的距离，该距离为2c。且椭圆周上的任意动点到两个焦点的距离之和为定值，该定值是2a。显然，2c选定后，2a就可以由已知的周长计算而得，即：。进一步的，。这样，椭圆的半长轴a和半短轴b都已得到，于是得到一个确定的椭圆：
　　另外，由于三角形B的一边长已选定，
　　由三角形面积公式，得：，可解得此边的高：
　　这里，s是已知的面积值，则h的值可确定。于是得到两条确定的直线：
　　当初始c的取值合理时，可使得hlt；b，即三角形B的高度h小于椭圆短半轴b的长度。此时椭圆和两条直线之间存在四个交点（当相切时则是两个交点）。连接的两个端点（即：坐标）和这些交点中的任意一个。都可以得到三角形B，它与给定的三角形A的周长和面积都相等，但两个三角形不全等。
　　下图演示了第四部分求得的例子：
　　图中黑色三角形是给定的三角形A（3，4，5），这是一个经典的直角三角形。
　　图中四个彩色三角形就是求得的三角形B
　　显然彩色的三角形B都不是直角三角形，它与三角形A不全等。
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