Mathematica学习常微分方程拉氏变换与级数实验

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　　常微分方程组的求解SolvingOrdinaryDifferentialEquations
　　调用函数Callfunctions
　　Principleoftwodimensionaldrawing
　　案例展示Applicationcasedisplay
　　答案：
　　In〔1〕：DSolve〔｛y’〔x〕z〔x〕，z’〔x〕y〔x〕，y〔0〕0，z〔0〕1｝，｛y〔x〕，z〔x〕｝，x〕
　　Out〔1〕｛｛y〔x〕Sin〔x〕，z〔x〕Cos〔x〕｝｝
　　提示：未知函数总带有自变量，等号用连续键入两个等号表示，这两点由于不习惯会出错！导数符号用键盘上的撇号，连续两撇表示二阶导数。
　　Tip：Unknownfunctionsalwayshaveindependentvariables，andtheequalsignisrepresentedbyenteringtwoequalsignsinsuccession。Thesetwopointswillmakemistakesbecausetheyarenotusedtoit！Thederivativesymbolusestheapostropheonthekeyboard，andtwoconsecutiveprimesrepresentthesecondderivative。
　　答案：
　　提示：式中的C〔1〕是通解中的任意常数。
　　Hint：C〔1〕intheformulaisanyconstantinthegeneralsolution。常微分方程（组）的数值解Numericalsolutionsofordinarydifferentialequations（sets）
　　调用函数Callfunctions
　　NDSolve〔eqns，｛y1，y2，｝，｛x，xmin，xmax｝〕
　　求常微分方程（组）的近似解
　　（Findapproximatesolutionsofordinarydifferentialequations（groups）。
　　其中微分方程和初值条件的表示法如同DSolve，未知函数仍有带自变量和不带自变量两种形式，通常使用后一种更方便。初值点x0可以取在区间〔xmin，xmax〕上的任何一点处，得到插值函数InterpolatingFunction〔domain，table〕类型的近似解，近似解的定义域domain一般为〔domain，table〕，也有可能缩小。
　　TheexpressionofdifferentialequationsandinitialvalueconditionsisthesameasDSolve。Therearestilltwoformsofunknownfunctionwithandwithoutindependentvariables。Itisusuallymoreconvenienttousethelatter。Theinitialvaluepointx0canbetakenatanypointontheinterval〔xmin，xmax〕toobtainanapproximatesolutionoftheinterpolationfunctionInterpolatingFunction〔domain，table〕type。Thedomainoftheapproximatesolutionisgenerally〔domain，table〕，whichmayalsobereduced。
　　案例展示Applicationcasedisplay
　　案例1：求常微分方程y’x2y2，满足初始条件y（0）0的数值解。
　　Case1：Findthenumericalsolutionofordinarydifferentialequationyx2y2，whichsatisfiestheinitialconditiony（0）0。
　　答案：
　　In〔1〕：s1NDSolve〔｛y’〔x〕x2y〔x〕2，y〔0〕0｝，y，｛x，2，2｝〕
　　Out〔1〕｛｛yInterpolatingFunction〔｛｛2。，2。｝｝，〕｝｝
　　提示：Out〔1〕表明返回的解放在一个表中，不便使用，实际的解就是插值函数：InterpolatingFunction〔｛｛2。，2。｝｝，〕。
　　Tip：Out〔1〕indicatesthatthereturnedliberationisinatable，whichisinconvenienttouse。Theactualsolutionistheinterpolationfunction：InterpolatingFunction〔｛｛2。，2。｝｝，〕。
　　In〔2〕：yy。s1〔〔1〕〕
　　Out〔2〕InterpolatingFunction〔｛｛2。，2。｝｝，〕
　　In〔3〕：Plot〔y〔x〕，｛x，2，2｝，AspectRatioAutomatic，PlotRange｛1。5，1。5｝〕
　　Out〔3〕Graphics
　　提示：In〔2〕的结果是用y表示解函数的名字，因此In〔3〕才能顺利画出解曲线。
　　Tip：TheresultofIn〔2〕istouseytorepresentthenameofthesolutionfunction，soIn〔3〕candrawthesolutioncurvesmoothly。
　　答案：
　　In〔1〕：s1NDSolve〔｛x’〔t〕y〔t〕（x〔t〕33x〔t〕），y’〔t〕x〔t〕，x〔0〕0，y〔0〕1｝，｛x，y｝，｛t，15，15｝〕
　　Out〔1〕｛｛xInterpolatingFunction〔｛｛15。，15。｝｝，〕，yInterpolatingFunction〔｛｛15。，15。｝｝，〕｝｝
　　In〔2〕：xx。s1〔〔1，1〕〕
　　In〔3〕：yy。s1〔〔1，2〕〕
　　Out〔2〕InterpolatingFunction〔｛｛15。，15。｝｝，〕
　　Out〔3〕InterpolatingFunction〔｛｛15。，15。｝｝，〕
　　In〔4〕：ParametricPlot〔｛x〔t〕，y〔t〕｝，｛t，15，15｝，
　　AspectRatioAutomatic〕
　　Out〔3〕Graphics拉式变换Pulltransform
　　调用函数Callfunctions
　　案例展示Applicationcasedisplay
　　案例1：求函数t4和etsint的拉氏变换。FindtheLaplacetransformofthefunctionst4andetsint。
　　答案：
　　级数实验Seriesexperiment
　　求和与求积SumandQuadrature
　　案例展示Applicationcasedisplay
　　提示：上例中第三个级数发散，Mathematica给出提示，并在不能给出结果时将输入的式子作为输出。
　　Hint：Intheaboveexample，thethirdseriesperges，Mathematicagivesahintandusestheinputformulaastheoutputwhentheresultcannotbegiven。将函数展开为幂级数Expandthefunctiontoapowerseries
　　调用函数Callfunctions
　　案例展示
　　Applicationcasedisplay
　　将yarcsinx展开为幂级数，只取前9项并去掉余项。Expandyarcsinxintoapowerseries，takeonlythefirst9termsandremovetheremainingterms。
　　答案：
　　傅里叶级数Fourierseries
　　傅里叶系数是一个积分表达式，所以利用积分函数Integrate就可以实现。
　　TheFouriercoefficientisanintegralexpression，soitcanberealizedbyusingtheintegralfunctionIntegrate。
　　案例展示
　　Applicationcasedisplay
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　　参考资料：网络。
　　英文翻译：Google翻译。
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