最易混淆的15条小学数学基础概念，你都清楚吗？

　　最小的一位数是0还是1？
　　这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页关于几位数的叙述：通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如2是含有一个数位的数，叫做一位数；30是含有两个数位的数，叫做两位数；405是含有三个数位的数，叫做三位数但是要注意：一般不说0是几位数。
　　再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对几位数是这样定义的，只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。
　　于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：、、、、、、、、。
　　不是最小的一位数。
　　为什么0也是自然数？
　　课标教材对也是自然数的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。
　　于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。
　　从教学实践层面来说，将规定为自然数也有着积极的现实意义。
　　2。10作为自然数的好处
　　众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有基数的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。
　　但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把0作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画有限集合元素个数的任务了。于此，从自然数的基数性这个角度，我们看到了把0作为自然数的好处。
　　2。2把0作为自然数，不会影响自然数的运算功能
　　0加入传统的自然数集合，所有的运算规则依旧保持，如新自然数集合｛0，1，2，，，｝中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。
　　所以，0加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的规定。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的定义和规定，还应该思考规定背后的数学涵义。
　　什么是有效数字一无效数字？
　　有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。
　　一般说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非零的数字起，到那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。
　　如近似数0有三个有效数字：、、；也有三个有效字：、、。
　　而中左边的三个零，中左边的一个零，都叫做无效数字。
　　加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？
　　加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算这似乎成了许多老师的口头禅，这其实是一种误解。例如：
　　加法，其逆算为，。
　　故此，加法的逆运算只有减法；
　　减法，其逆算有，。
　　故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。
　　综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。
　　同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。
　　为什么不写倍？
　　在学习求一个数是另一个数的几倍应用题时，很多小朋友会自然提出这样的疑问，如：饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？为什么1234的后面不写倍呢？
　　我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识）。但同时又该对学生说明：在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称
　　如：12只的只；8克的克。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是，倍不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果4，表示12里面有4个3，就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。
　　所以，在算式里不写倍，以免倍与单位名称发生混淆。
　　倍和倍数的区别
　　在第一学段我们学习了倍的初步认识，认识了概念倍，而在第二学段，我们又学习到倍数这个概念。那么，倍和倍数这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？
　　倍指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有10人，女生有30人，因为10330或者30103，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人数（10）的3倍等于女生人数（30）。勿宁说，倍其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）。
　　倍数指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，倍数是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。
　　同时我们又看到，30也是6的5倍，因为6530，65表示6的5倍。所以从这个角度来说，倍的涵义应宽泛于倍数，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。
　　时和小时有什么不同？怎样使用时和小时？
　　首先应该明确的是，〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、〔小〕时、分作为辅助单位。
　　（注：〔〕里的字，在不致混淆的情况下，可以省略）。
　　这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日）、〔小〕时、分、秒。
　　由此，时既可以表示时间，又可以表示时刻。由于时间和时刻这两个不同的概念容易产生混淆，在实际应用时间单位时时，
　　现行教材作了如下处理：
　　71当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位时。例如：超市营业时间：21912（时）。（此处可省略小字）
　　72在用语言表述时间的长短时，为避免时间和时刻这两个概念产生混淆，则在时的前面加上一个小字。例如：超市营业时间12小时。
　　73在用语言表示时刻时，一律不得出现小时字样。例如：公园每天早上7时30分开园（而非7小时30分）。
　　改写和省略是一样的吗？
　　从形式上看，此例将改写与省略两种对数的变化置于了同一个要求之下（即改写成用亿作单位的数）。我们真希望编者不是有意而为之，因为改写与省略其本质是完全不同的。
　　表现在：
　　8。1目的不同。
　　改写的目的是方便对大数的读写，而省略则是取数的近似值。
　　8。2方法不同。
　　此处的改写是去掉亿位后面的0，再写上一个亿字，而省略除了要找准亿位，还要考虑被省略的尾数的最高位是几，然后用四舍五入法求出近似数。
　　8。3符号不同。
　　改写只改变了数的表现形式，大小并未改变，所以用号连接；而省略既改变了数的形式，又改变的数的大小，所以用连接。
　　路程就是距离吗
　　这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。
　　路程是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而距离则指连接两个地点而成的直线段的长度。
　　路程所经过的路线可以是曲形线，也可以是直形线，还可能是折形线。
　　一般情况下，两个地点之间的路程要大于它们之间的距离，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。
　　虽然老师们都知道这个等式是成立的，但我们的学生却没有相应的知识储备，怎样绕开极限寻找能为小学生所理解和接受的证明途径。
　　最大的分数单位是12还是11？
　　先看看分数单位的含义：把单位1平均分成若干份，表示这样一份的数。
　　显然，在分数意义中，关键是分，没有分，就没有份。
　　因为把单位1平均分成的最少份数是2份（如果是1份，也就无所谓分），由此得到的分数单位是12，所以12是最大的分数单位。
　　尽管就广义的分数来说，11也可视作分数，但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数（在平均分的基础上所产生），故此，最大的分数单位应以12为宜。
　　像03、0。23、30。2这样的数是不是分数？
　　分数的定义明确告诉我们：把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。其中，分成的份数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。
　　由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。
　　进而，在考查学生对分数涵义的理解时，应着眼于通常意义上的分数，将上述这些变异形式纳入思考的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义，而且会令诸如分数都大于0等命题的真与假陷入尴尬。
　　比6多12的数应该是612还是6（112）
　　要弄清这个问题，先得弄清6的性质。显然，此处的6其实质是一个数，而非一个量，求比6多12的数应属于求比一个数多几的数的范畴，问题中的多几都是确定的具体数，这里的几既可以是整数，也可以是小数或分数。
　　所以，这里的12是指在6的基础上多12这个12数的本身，而非6的12。
　　所以，比6多12的数应该是612。
　　当然，如果题目确定为比6多它的12的数，那答案则属于后者。
　　计算出勤率可不可以不乘100？
　　先来看看新人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材对类似问题的理解。
　　同一课程标准下，不同的教材给出了不同的理解，这给执教者带来了困惑：到底可不可以不乘100呢？笔者以为，求率其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。
　　如果公式只写成：出勤率实际出勤人数应出勤人数，我们说这只是分数形式（也即是求实际出勤人数占应出勤人数的几分之几），并不是百分数。
　　因此，在公式后面乘上，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百分数的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率的公式中，都应乘。
　　同时建议各版本教材的编委统一思想，以免给一线教师造成认识上的混乱。
　　小于度的角都是锐角吗？
　　根据课标教材定义：小于度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的，但由此又产生一个新的问题：度的角是什么角，也是锐角吗？
　　事实是，锐角定义有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。习惯上，我们把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角，射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角，当一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为正角、负角、和零角。
　　由此，严格意义上的锐角定义应是：大于度而小于度的角叫做锐角。
　　足球比赛记分牌上的是数学中的比吗？
　　我们至少可以从两个方面来理解它们的差别。
　　第一，球类比赛中的表示的是比赛双方的得分情况，是差比，即表示相差关系，一方得分，另一方得分，双方相差分；数学中的表示的是，是倍比，商为。5。有鉴于此，球类比赛中的比（其实是比分），其后数可以为的，而数学中的比，其后数（相当于除数）是不可以为的。
　　第二，数学中的比是可以化简的，如；同样的放在球类比赛中，却不可以化简，如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。