古戈尔(一支庞大的外星舰队)
古戈尔(一支庞大的外星舰队)
其实我们并不理解这些数字到底意味着什么。
——戴维斯·托克曼
道格拉斯·亚当斯在经典著作《银河系搭车客指南》中讲过一个故事——一支庞大的外星舰队前来袭击地球,结果他们发现自己在尺度上犯了一个致命的错误。这支大军刚在公园里着落,就被一条小狗吃掉了。
这则故事简直让人笑喷,同时也让我们对尺度有了新的认识和思考。
刚开始学习自然数的小朋友经常喜欢比谁说的数大。
小朋友学了100以内的数,如果一个说"我有99个XXX",另一个则会说"我有100个XXX"。
而当他们学了千、万、亿之后,就会觉得一万、一亿是非常大的数。
再往后,等他们对位值制有了懵懵懂懂的认知后,大概会这么说:1后面100个0......
1后面100个0,这随口一说的数,其实还有个学名,叫古戈尔(googol)。这个数的由来可是有典故的。
1938年,数学家爱德华·卡斯纳让9岁的侄子米尔顿给一个大得不可思议的数取个名字。米尔顿当时就回答说叫古戈尔,并且把它定义为1后面100个0。
这个数写成指数的形式就是10100。
事实上,这个数已经相当大了,比宇宙中已知的粒子个数还要多。但这个9岁的孩子显然还不满足,他又提出一个新的数,称为古戈尔普勒克斯(googolplex)。一开始,孩子希望把这个数定义为"写零写到手酸",但他后来决定将它标准化,定义为:1后面古戈尔个零。
从这个小小的变化,我们可以看出米尔顿的数学天赋。要知道,"写零写到手酸"可只是一个模糊的用语,在数学上是非常不严谨的。就像很多孩子会蹦出"无穷"这个数,而他们口中的无穷只是一个模糊的概念。但是米尔顿随后精确定义的googolplex,则体现了数学的严谨性。
古戈尔已经足以涵盖宇宙了,那1后面古戈尔个零到底有多大呢?
googolplex,用数学来定义,其实也就是下面这个数:
但是,这个数远远超出了我们人类的想象极限。
我们不妨来看两个"更小"的数:
我们知道,44=256,是我们能感知的数,后面这个数看起来好像也不大,会是44的多少倍呢?而事实是:
看到没,这竟然是比古戈尔还大很多很多的数!
很多人都知道下面这个古老的故事。
一位国王打算赏赐一位大臣,说他想要什么都可以满足他。这个大臣说,没有什么特别的要求,只希望在国际象棋的第一个格子里放1粒米,第二个格子里放2粒米,第三个格子里放4粒米,第四个格子里放8粒米,依此类推,直到放满64个格子的米。
这个要求看上去并不苛刻,国王很爽快地答应了。然而,这位国王显然不知道指数增长的威力。
这个故事很好地诠释了指数式增长到底有多么恐怖。而我们上面给的例子则比指数增长更为恐怖,被称为"超幂"。
2021年第一天,有人在群里探讨时间尺度的问题:在地质时钟上,人类意识仅在午夜的最后一分钟才出现。
其实,这句话蕴含的就是时间尺度的问题。我们人类觉得几千年甚至上百万年很长,但相对于地球的演化来说,只是一瞬间。一个严谨的群友有还专门为此手绘了一个地质时钟。
其实,不仅仅是时间,包括距离、温度、声音、光谱,人类能感知的尺度都比宇宙的尺度要小得多。虽然人类知道世界的基准并不是人类尺度,但他们希望是。关于此,我写过一篇文章《人类尺度 vs 宇宙尺度》,感兴趣的朋友可以读一下。
说到这儿,我突然想起自己之前读过一本非常好的介绍宇宙尺度的书,名叫《宇宙的尺度:从无穷大到无穷小》。这本书以上帝的视角介绍了超越人类感知的数字、尺寸、光、声、热和时间。无论孩子还是大人,都能从中感受到宇宙和大自然的美和浩渺,而人类真的连大海里的一粒沙子都算不上。
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