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中考数学压轴题分析半角模型

  【中考真题】
  (2020襄阳)在ABC中,BAC90,ABAC,点D在边BC上,DEDA且DEDA,AE交边BC于点F,连接CE
  (1)特例发现:如图1,当ADAF时,
  求证:BDCF;
  推断:ACE;
  (2)探究证明:如图2,当ADAF时,请探究ACE的度数是否为定值,并说明理由;
  (3)拓展运用:如图3,在(2)的条件下,当EFAF13时,过点D作AE的垂线,交AE于点P,交AC于点K,若CK163,求DF的长
  【分析】
  题(1)的第小问用全等即可证明。第小问通过目测观察或者尺子一量就出来了。当然,要证明也不难。因为这里面有一个8字形。所以比较容易得到一个等量关系。
  可以得到DAEDCE,那么结论就出来了。
  其实本质是四点共圆。
  题(2)就是在题(1)的基础上面用二次相似就可以了。当然,要用四点共圆说明也可以。
  题(3)因为DP与AE垂直,所以可以考虑过点C作CGAE,那么就可以得到一个8字形与一个A字形。有两个相似再加上等腰直角三角形的三线合一。进而可以得出边长的比例关系。
  设GFx,再表示出其它线段,表示出CK的长,进而得到x的值。就可以在DPF中利用勾股定理得到DF的长度了。
  当然,本题也可以像上图,连接EK。得到AK与EK是相等的,因为DK是AE的垂直平分线。在DKC中设未知数利用勾股定理,可以求出AK、EK和EC的长度。再求出AE、DP和PF的长度就可以了。
  【答案】(1)证明:如图1中,
  ABAC,
  BACF,
  ADAF,
  ADFAFD,
  ADBAFC,
  ABDACF(AAS),
  BDCF
  结论:ACE90
  理由:如图1中,DADE,ADE90,ABAC,BAC90,
  ACDAED45,
  A,D,E,C四点共圆,
  ADEACE180,
  ACE90
  故答案为90
  (2)结论:ACE90
  理由:如图2中,
  DADE,ADE90,ABAC,BAC90,
  ACDAED45,
  A,D,E,C四点共圆,
  ADEACE180,
  ACE90
  (3)如图3中,连接EK
  BACACE180,
  ABCE,
  ECABEFAF13,设ECa,则ABAC3a,AK3a163,
  DADE,DKAE,
  APPE,
  AKKE3a163,
  EKCKEC,
  (3a163)(163)a,
  解得a4或0(舍弃),
  EC4,ABAC12,
  AE(ACEC)(412)410,
  DPPAPE12AE210,EF14AE10,
  PFFE10,
  DPF90,
  DF(DPPF)((210)(10))52

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