小乐数学科普欧拉写给德国公主的信（节选3篇，法译英译中）

　　小乐译注：
　　大数学家：莱昂哈德欧拉
　　曾任拿破仑的老师，天体力学之父，法国科学院院士，数学家，物理学家，拉普拉斯，曾经说过：读读欧拉，读读欧拉，他是我们所有人的老师。可以说，莱昂哈德欧拉是历史上数百年难逢的大数学家，也是一个重量级的科普工作者，他曾应邀为德国公主函授哲学、物理学、宇宙学、化学、音乐等多个科学和艺术分支的知识。为此他于1760年至1762年间，写下了一系列共234篇文笔优美的文章，分成三卷分别于1768年的圣彼得堡和1774年的法兰克福首次出版，它们充分体现了欧拉渊博的知识、极高的文学修养和哲学修养。
　　欧拉写给德国公主的信1768年出版
　　欧拉写给德国普鲁士王室公主的信，原文是法文，随即被他在圣彼得堡的学生StepanRumovsky翻译成俄语。这三卷法语版的信，于1787年至1789年这三年在巴黎被分别重印。而苏格兰牧师亨利亨特在1795年将其率先翻译成英文版。目前国内还没有中文版，只看到2018年高等教育出版社引进出版了英文版。本文是zzllrr小乐基于英文版（苏格兰圣安德鲁斯大学数学与统计学院官网提供）翻译而成的中文节选，可以称为是法译英译中，而基于原来法文版直接翻译成中文的完整中文版，由于难度较大和周期较长，小乐将于后续时间予以开源发布。
　　译文：欧拉给德国公主的信是用法语写给普鲁士王室成员15岁的弗里德里克夏洛特公主的。当他开始写信时，欧拉时年53岁，是柏林普鲁士科学院数学系主任。从1760年开始的两年时间里，他给公主写了234封信。首次出版三卷（1768年在圣彼得堡出版第一、二卷，1774年在法兰克福出版第三卷），孔多塞侯爵（MarquisdeCondorcet）和西尔维斯特弗朗索瓦拉克鲁瓦（SylvestreFranoisLacroix）于1787年，1788年和1789年在巴黎重印。巴黎版本被苏格兰牧师亨利亨特（17411802）翻译成英文，并在1795年发表。亨特在序言中写道：
　　我相信，现在是英国每个女性学院的客厅，每天早餐桌上摆着欧拉之书或类似书籍的时候了；当一个年轻的女性在学习糕点和平常工作的有用技巧的同时，也可能想去熟悉月相，潮汐的流动和退潮。而且我说服她稍微学习一点声音理论，也许会弹奏吉他或敲击羽管键琴的琴键，她本人和其他人都较为同意。我已经将这种方法的权力交给她了。如果她忽略了，那将是她的错，也是她的愚蠢。
　　我们在下面给出这些信的三个示例。在前两封信中，我们注意到该作品的不同版本包含不同的度量。我们保留欧拉的原始度量，即他使用的德国英里（一德国英里等于四又五分之三4英国英里）。我们还保持欧拉对太阳系的理解。后来的版本增加了其他已发现的行星和小植物，如谷神星等。这封信原始日期是1760年，因此会带来困惑。我们尽可能选择最接近欧拉原信的表达方式。
　　1、关于数量级（或延拓）
　　荣幸能与殿下交流几何课的希望变得越来越遥远，这让我容易感到难堪，以书写的方式提供个人指导时，感觉自己会被推着直达主题的本性。
　　我先尝试帮助您形成一个关于数量级的概念。例如，产生在宇宙系统中实际可发现的最小和最大物质的延拓程度。首先，有必要固定一种确定的量度划分，我们对这种分度有一个确切的概念，也明显感觉得到，例如，一英尺（也即一脚长度）。一旦确定了一英尺的大小，眼睛也对它熟悉了，它将使我们能够形成关于其他或大或小的长度概念；前者通过其包含多少英尺来确定；后者通过用脚的哪一部分来测量来衡量。因为，有了一英尺的概念，我们就得到了它的一半，四分之一，十二分之一英寸（命名为1英尺），百分之一和千分之一（很小几乎看不到）。但是要指出的是，有一些动物，其延伸程度不超过一英尺的最后一个部分，但是这些动物是由使其血液循环的成员组成，这些成员又包含其他动物，正如它们与我们相比。因此可以得出结论，存在着动物，它们的小巧使人难以想象。而且也可以分成难以想象的小部分。因此，尽管一英尺的十分之一太小了以至于看不见，并且与我们相比，它不再是一种感觉的对象，但它在数量上却超过了某些完整的动物；而且，对于其中一种动物来说，它具有感知力的话，必然表现得非常巨大。
　　现在让我们从这些微小的数量转到那些心智上爱莫能助的最大数量。你有1英里的概念；因此到马格德堡的距离被计算为18英里（德国英里）；一英里（德国英里）包含24，000英尺，我们用它衡量全球范围内不同地区的距离，以避免数字不可思议的大（如果我们使用的英尺，而不是英里，情况肯定如此）。一英里包含24，000英尺，从柏林到马格德堡是18英里，这样说比说这两个城市的距离是432，000英尺（一个太大几乎难以理解的数字）更加清晰。再如，当我们被告知其周长约5，400英里，我们对地球大小有一个相当合适的概念。直径是穿过球体（这是公认的地球图形，因此我们也将其命名为地球）中心并在表面上以相反方向结束的直线段，地球直径被计算为1720英里；这就是我们用来确定天上可发现的最大距离的度量。在所有天体中，月亮距离我们最近，仅相距约30个地球直径，大小是51，600英里或1，238，400，000英尺；但是最清晰的概念是首先对30个地球直径进行计算。太阳与我们的距离大约是月亮与我们距离的400倍，而当我们说这个距离是9，000个地球直径，会比用英里或英尺表示更清楚易懂。
　　您知道地球在一年的时间内围绕着太阳旋转一次，但是太阳保持不动。在地球旁边，还有五个其他类似的天体，称为行星，它们绕太阳旋转。其中两个距离较小，即水星和金星，三个距离较大，即火星，木星和土星。我们看到的所有其他恒星，除彗星外，都称为固定不动的。他们离我们的距离比太阳大得多。它们之间的距离无疑是非常不相等的，这就是其中一些天体看起来比其他天体更大的原因。但毫无疑问，它们中最近的比太阳更远5，000倍：因此与我们的距离，超过45，000，000个地球直径，也就是77，400，000，000英里，如用英尺的话，还要再乘以24，000，距离更惊人。毕竟，这还只是离我们最近的那些恒星的距离；我们看到的最遥远的地方也许相距一百倍。同时，这些恒星可能合在一起仅构成整个宇宙的一小部分，这些惊人的距离相对于整个宇宙，并不比一粒沙相对于地球那样大。这种无边无际是全能者所为，他统治着最大和最小的天体。
　　柏林1760年4月19日。
　　2、关于速度
　　我自诩殿下很高兴接受我的指导，即在前一封信中我自由向您介绍的，我着手揭开速度的概念，这是延拓的一种，并容易增加和减少。当任何物质被运输时，即当它从一个地方传递到另一个地方时，我们将其归因于速度。让两个人从柏林到马格德堡，一个人骑马，另一个人步行，在两种情况下，我们都有一个特定速度的概念。但随即得知，前者的速度超过后者。
　　那么问题来了：我们观察到的这些速度差异在哪里？骑行者和步行者的路是相同的；但是区别显然在于每个人花在相同路线的时间。骑马者的速度是两者中较快的，因为他在从柏林到马格德堡的路上花费的时间更少。而步行者的速度较慢，因为他在相同距离上花费更多的时间。因此很明显，为了形成准确的速度概念，我们必须引入两种量：即道路的长度和所用的时间。因此，同一时间，一个物体所经过的空间距离是另一个物体的两倍，则有双倍的速度。如果同一时间，通过距离是三倍，就说速度是三倍，依此类推。因而我们应当理解，物体的速度，就是指在一定长的时间内它所经过的空间距离。
　　为了知道我的脚步速度，当我走到Ltzow（德国市名）时，我观察到我在一分钟内走了120步，而我的一步等于两英尺半。因而我的速度，就是每分钟300英尺，或每小时18，000英尺（60倍距离，但并不等于一英里，即24，000英尺，那需要一个小时20分钟）。因此，如果我要从那步行到马格德堡，恰好需要24小时。这传达了我能够行走的速度的一个准确概念。现在可以很容易地理解一个或大或小的速度。因为如果要一个快递员在12小时内从这到马格德堡，他的速度将是我的两倍。如果他走了八个小时，他的速度将是我的三倍。我们注意到速度的差异非常大。乌龟提供了极小的速度示例。如果她在一分钟内只前进一英尺，她的速度是我的300倍慢，因为同样时间我走300英尺。同样我们对高速度也更加熟悉。风的变化很大。中等风速以每秒10英尺的速度传播，或者一分钟600英尺；因此它的速度是我的两倍。一秒钟能跑20英尺或一分钟能跑1200英尺的风很大。每秒50英尺的速度飞行的风非常猛烈，尽管其风速仅是我的十倍，并且要花2小时24分钟才能吹到马格德堡。
　　接下来是声速，其1秒钟移动1000英尺，即每分钟60，000英尺。因此，该速度是我步伐的200倍；一门加仑炮在马格德堡发射，如果在柏林可以听到，它将在七分钟内到达那里。炮弹球以几乎相同的速度移动；但是当炮弹被加载到极限时，炮弹球能够每秒飞行2，000英尺，或者说每分钟120，000英尺。这个速度看起来是惊人的，尽管只是我步行去Ltzow的速度的400倍。同时它是地球上已知的最大速度。但天体中却有速度大得多，尽管它们的运动似乎是不慌不忙的。你知道地球在24小时内绕其轴旋转一圈：它的表面赤道下的每一个点，24小时移动5，400英里，而我只能走18英里。因此，它的速度是我的速度的300倍以上，尽管比炮弹的最大可能速度还小。地球在一年的时间内绕太阳公转，在24小时内以128，250英里的速度前进。因此，它的速度是炮弹18倍。毫无疑问，我们所知道的最大速度是光的速度，它每分钟移动2，000，000英里，并且是炮弹速度的4000，000倍。
　　1760年4月22日
　　3、源自美好音乐的快乐
　　这是一个与好奇一样重要的问题，精美的音乐从何而来激发愉悦的心情呢？有学问的人在这方面答案有所不同。有人认为这仅仅是随性而已，音乐产生的乐趣不是建立在理性的基础上的，因为甲之蜜饯乙之砒霜。除了确定问题之外，这只会使问题更加复杂。需要确认的一点是，由于所有人都承认无因就无果，那么同一首音乐如何产生如此不同的效果的呢？其他人则认为，优美音乐带来的愉悦在于对弥散在音乐中的秩序的感知。
　　乍一看，这种观点是有充分根据的，值得更仔细地研究。音乐呈现两种东西，其中秩序是必不可少的。其中一个与尖锐或平坦音调的差异有关。您会回忆起，它包含每个音符在同一时间进行的振动次数。在所有声音的振动速度之间可以察觉到的这种差异，就是所谓的和声（harmony）。一首音乐的效果就是产生和声，我们能感觉到组成它的所有音符的振动之间的关系。因此，两个相差八度音阶的音符激发出1到2的感觉；相差五分之一，得到2到3；相差三分之一，得到4到5。
　　当我们知道所有构成其音符的关系时，我们便理解了和谐的秩序。而耳朵的感知导致了这种知识。这种感觉，或多或少是微妙的，决定了为什么一个人而不是另一个人感觉到相同的和声，尤其是当音符的关系用更大的数字表示时。音乐除了和声之外，还包含另一个同样容易受到秩序影响的东西，即小节（measure），通过小节，我们为每个音符分配一定的持续时间。对长短的感知在于对持续时间的了解以及由此产生的关系。
　　铜鼓是一种小节单独起作用的音乐例子，因为其中所有音符彼此一样，没有和谐。类似地，还有一种音乐是完全和谐，没有长短。这种音乐是合唱，其中所有音符的持续时间相同。但是完美的音乐将和声与小节融为一体。因此，欣赏音乐的鉴赏家，通过对耳朵的敏锐感知，了解建立和声与小节的所有比例，当然对这首音乐拥有最完善的知识：仅仅部分或根本不了解这些比例的人，对此问题一无所知，或者至多对它了解甚少。但是，优美的音乐激发了愉悦的感觉，必然不能与我所讲的知识等同，尽管可以肯定地说，一首音乐不能产生任何东西除了产生能被人们感知的关系。仅仅因为这种知识不足以激发愉悦感。需要某种另外的东西，迄今为止没有人展示过的。
　　为了确信仅对音乐的所有比例的感知不足以产生愉悦，您仅需考虑非常简单的结构的音乐，例如仅以八度为单位的音乐，其中对比例的感知为无疑是最简单的。尽管您可能对音乐有最完善的了解，但这种音乐远不能带来愉悦。可以说，享乐需要的知识不是那么容易获得的，而这种知识会带来一些麻烦，会让我们付出一些代价，如果允许我这么表达。但是，我认为这不是令人满意的解决方案。用最高的数字表示关系的不协和和弦更加困难。然而，一系列的不和谐和弦，没有选择，没有设计就无法取悦人。
　　一位鉴赏家聆听这样的乐曲，理解作曲家所考虑的除了比例之外的恰当计划和设计，将感到满足，这正是精致音乐带来的愉悦，使人们习惯于欣赏迷人的艺术中的美感和体贴。它是通过某种程度上探测作曲家的观点和感觉而产生的，当幸运的时候，作曲家的表演使心灵充满了愉悦的感觉。这种满意与从表演精湛的哑剧的观看中获得的满足有些相似，在其中，您可以通过手势和动作来推测要表达的情感和对话，以及易领悟的计划。清扫烟囱者之谜，让殿下感到很有趣，为我提供了另一个出色的比较。当您猜出感觉并发现它在谜题的命题中得到了完美的表达时，您会感到非常明智的发现。但是平淡无奇的谜语却一无所获。如果允许我判断的话，这就是决定音乐作品卓越性的所依据的真实原则。
　　1760年5月6日