小乐数学科普一群MIT大学生寻找特殊的四面体，译自量子杂志

　　原文：QuantaMagazine量子杂志202129，译者：zzllrr小乐2021219
　　内容与zzllrr小乐公众号春节过年之前的译文《小乐数学科普：计算机证明全部有理二面角四面体译自量子杂志》有关联，感兴趣的读者可以参阅之。
　　麻省理工学院的30名本科生团队正在继续亚里士多德（Aristotle）在2000年前就开始的课题。他们一直在利用最近的数学进展，为这数千年的探索注入了新的活力，以寻找可以完美填充或平铺三维空间的形状。
　　知道一些最伟大的思想家一直在致力于这个课题，这真是令人兴奋，但同时也有些吓人。麻省理工学院一年级学生罗宇元（YuyuanLuo）说。（他参与了MIT教授BjornPoonen组织的工作，Poonen从西蒙斯基金会（SimonsFoundation）获得资金，该基金会也资助了量子杂志。）
　　亚里斯多德对这个问题的兴趣来自对他的老师柏拉图的质疑。
　　柏拉图在公元前360年与蒂迈欧（Timaeus）的对话中，讨论了古老的理论，即世界是由四个元素组成的：土，水，空气和火。他推测这些元素都是由具有与五个正多面体之一相对应的独特形状的粒子组成的：土粒子的形状像立方体，水粒子的形状像正二十面体，空气的粒子像正八面体，还有像尖尖的四棱锥正四面体那样的火粒子（因为火是多刺的）。
　　亚里士多德基于他的假设（我们现在知道这是错误的）提出反对，即这些元素的粒子必须能够完全填充空间。也就是说，他认为在有水的地方，你得能够排列二十面体水粒子的副本，让二十面体完美地占据整个水域而不会重叠。
　　亚里士多德认为，那就是关键所在。他在公元前350年的《论天》一书中解释说，二十面体的副本无法填满整个空间。因此，他辩称，水的颗粒不可能具有这种形状。由于同样的原因，他怀疑空气颗粒的形状是否像八面体一样。但是他允许立方体（土）和四面体（火）的副本填充空间，因此他允许柏拉图的理论代表这两种元素。
　　数千年后，事实证明亚里士多德在那儿也是部分错误的。
　　早在1400年代，科学家就开始怀疑正四面体（其中四个面均为等边三角形）也不能用于填充空间。到1600年代，他们已经确定了它。亚里士多德也有可能认识到这一点，只要他自己尝试解决一下。
　　如果亚里士多德制造了正四面体模型，他将拿出一个正四面体，用另一个放在右侧，最终多个正四面体围着一条边。有5个后，他会看到无法再用一个正四面体填补的空隙。史密斯学院的MarjorieSenechal说道。
　　如果正四面体不能填满空间，那么问题就变成了：普通四面体呢？
　　1923年，邓肯索默维尔（DuncanSommerville）证实了最早的例子。总而言之，数学家们现在发现了两个单独的四面体和三个无限的四面体家族，可以填补空间。这些族具有一个参数，你可以通过多种方式进行无限调整，以使某些内角变小，而另一些成比例地变大，同时保持平铺空间的能力。数学家还没有发现其他情况。他们不清楚可能存在多少。
　　Senechal说：我不知道这是一个除了找到这些东西之外，还没有理论解的问题。
　　事实是，大多数三维形状不会平铺空间。康奈尔大学（CornellUniversity）的InnaZakharevich说：我们不知道填充3维空间多么困难。我认为这样做的确很酷。
　　这意味着寻找这样的形状有点盲目。幸运的是，问题和其他两个相关问题之间的精确对应有助于寻找可以覆盖三维空间的四面体。
　　第一个相关的问题是：两个体积相同且面均为平坦面的形状，是否总是可以通过直切将其分开并重组得到？大卫希尔伯特（DavidHilbert）在1900年提问了这个问题，同年，他以前的学生马克斯德恩（MaxDehn）提供了答案的重要组成部分。
　　Dehn表明，可以使用任何多面体形状的角度（例如四面体或立方体）来计算单个量，现在称为Dehn不变量。他证明，要使两个形状剪刀全等（意味着它们可以相互切割并重新组装），它们必须具有相同的Dehn不变量。Dehn使用他的新测量方法来证明正四面体与立方体不剪刀全等，因为它们的Dehn不变量不同。
　　在该世纪后期，数学家们证明了另外两个关键事实，这些事实将剪刀全等和平铺联系在一起。1965年，让皮埃尔赛德勒（JeanPierreSydler）证明了具有相同体积和相同Dehn不变量的任何两个形状都是剪刀全等的。此外，在1980年，汉斯德布伦纳（HansDebrunner）指出，任何平铺空间的四面体都必须具有0的Dehn不变量（与立方体相同）。这些发现的结果是，四面体必须是与立方体剪刀全等，才有可能铺满空间。
　　如果你使用的是四面体，则计算其Dehn不变量是否为0相对容易，因此有平铺空间的可能。但是，要找到Dehn不变量为0的所有四面体并不是一件容易的事。
　　这就是第二个相关问题的出处。
　　四面体具有沿成对的面相交的边缘形成的六个二面角。1976年，约翰康威（JohnH。Conway）和安东尼娅琼斯（AntoniaJ。Jones）问：是否可以识别出所有四面体，其中所有六个二面角的度数均为有理数（这意味着它们可以整齐地写为分数）？这是一个现代的问题，带有亚里士多德的暗示。
　　加州大学圣地亚哥分校的KiranKedlaya说：我想说的是，这个问题在古代可能是被问到的，但据我所知，还不是。Kedlaya，Poonen和其他两位合著者证明，正好有59个孤立的例子加上两个无限的四面体族具有有理二面角。量子杂志最近在我们的故事计算机搜索数十年后证明全部有理二面角四面体中报道了这一结果（参阅《小乐数学科普：计算机证明全部有理二面角四面体》）。
　　至关重要的是，任何具有正二面角的四面体的Dehn不变量均为0，这意味着它与立方体剪刀全等，并且有可能铺满空间。
　　这导致了MIT本科生与Poonen一起进行的工作调查其中哪些候选情况能够有潜力实现三维平铺。
　　在1月中旬，小组证明了孤立的有理四面体之一没有填充空间。他们的结果标志着第一次有人发现四面体的例子，这种四面体与立方体剪刀全等，但没有平铺空间。这也是源于古老好奇心的智力的最新交织。