e是什么（数学中e是怎么得到的）

　　世上有很多有意思的设计，或精致细腻，或别出心裁，或令人耳目一新，或让人拍案叫绝，今天我们故事的主角是一个小小的挂钟
　　从1点开始，探寻每个式子背后的故事
　　1点的故事：
　　欧拉公式：
　　，所以
　　。这个答案很像是句废话，其实问题应该问e是什么？
　　又是什么？以及欧拉是谁？
　　01hr自然常熟e
　　e是个常数，如同一样，而且也是个超越数，e到底等于多少呢？e来源于何方？我们从一个慈善银行的故事开始。
　　我们都知道银行存款是有利息的，分单利和复利两种，有一家慈善银行，开业大酬宾，活期存款年利率100，也就是说，一块钱存一年，到期取出两块钱。然而资金短缺的Roy仅仅能拿出100块存入这家银行，但他依然想着怎样能多收点利息，他发现
　　如果100块存一年，到期可取：
　　100（1100）200元
　　然而这家银行是活期的存款利率100，假如先存半年，半年后可取出150元，再将150元存半年，则一年后的利息肯定会更多些。即为：
　　100（110012）2225元。
　　仿佛打开了新世界的大门，接着Roy盘算说，如果每个季度取出来再存一次，那一年后可取：
　　100（110014）4244
　　如果每个月取存一次，那一年后可取：
　　100（1100112）12261
　　取存的次数增多，虽然说每次的利息变少了，但因为次数增加所以利息也会增加，那会不会，多到没有上限呢？
　　再疯狂点，每天取出来一次，一年后可取：
　　100（11001365）365271。47
　　虽说数字一直再增加，但很明显，增加的幅度一直在变小。
　　如果Roy这一年（31536000秒）里，每秒都在取钱存钱，一年后会收到：
　　100（1100131535000）31536000271。74
　　折腾到每一秒，居然只比上面的多几毛钱，照这么个趋势，即便次数再多，也到不了300块了。然而现实更加真实，连272都到不了。当次数达到无数次的时候，这个结果大概是271。82818284也就是我们所说的e！
　　n趋近无穷大的时候，
　　的结果是一个常数，这个常数是个超越数，约等于2。7182818284记为e，还有个非常低调的大名：自然常数。
　　02hr科学巨匠莱昂哈德欧拉
　　对历史人物进行排名一直是广大吃瓜群众的一大爱好，数学家也未能幸免，不过好在史上公认的四大数学家：阿基米德、牛顿、高斯、欧拉，对于这一点大家基本是持统一意见。
　　数学之神阿基米德一手撬地球吓得地球瑟瑟发抖，上帝之子牛顿一个苹果砸出万有引力，数学王子高斯一招1100求和的故事传唱至今。然后咧，欧拉是谁？他干过啥事？
　　相信每个数学系的学子应该都有过被欧拉支配过的恐惧，因为，基本上在每一本数学专业课教材上，都会出现他的名字，以致于我一度怀疑欧拉真的不是一个姓氏？欧拉涉猎范围极广，比如数论、代数、无穷级数、函数、复变函数、微积分、变分法、几何等等，这些我们今天都不讲。
　　他还被称为分析的化身，从他之后，数学变成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。此外他还是个物理学家，研究过建筑，探索过航海，计算过彗星的轨道，出版过音乐著作。
　　总结下来一句话：这货是开挂的！
　　开挂的欧拉1707年出生于瑞士，13岁中学毕业，进入巴塞尔大学，16岁硕士毕业，19岁博士毕业。是的你没有看错，19岁就博士毕业了，所以天才从小就藏不住。顺便说一下，本科读的是哲学专业，所以欧拉还是一个跨专业选手，数学纯粹是出于兴趣去隔壁教室蹭蹭课。后来在其数学老师约翰伯努利的劝说下，欧拉的父亲才改变让欧拉做牧师的想法，让欧拉真正转到数学门下。
　　欧拉一生完成论文和著作共计886篇，是史上最高产的数学家之一，在他的一生中，他的数学成果平均每年800页，以致于在他去世之后的近半个世纪里，他的作品依然源源不断地出现在圣彼得堡皇家科学院的出版物当中，真实演绎了有的人死了，但他还活着。
　　1735年，据说因为工作时间过长，28岁的欧拉右眼失明，所以欧拉有将近一半的成果是在一只眼睛失明的情况下完成的。而另外一半，则是在双目失明的情况下完成的。1766年，一次不成功的白内障手术让欧拉的左眼也罢工了，至他去世的这17年的时间里，欧拉通过心算、口述的方式依然进行着数学研究，可见其超强的记忆力和心算能力。欧拉告诉我们，学数学靠脑子，不需要眼睛。
　　1783年的一个夜晚，欧拉突发脑溢血去世，据说，欧拉的烟斗掉地上去了，他弯腰去捡，说了句：我死了。然后便再也没有站起来。就这样一代伟大的数学家停止了生命，也停止了计算。
　　他是一个伟大的学者，也是一个善良的人。
　　03hr欧拉公式
　　0、1、、i、e被称为是数学中的五大常数，欧拉用一个公式将他们联系到一起，即欧拉公式：
　　1988年，《数学信使》杂志组织了一次推选史上最优美数学定理的投票，这个公式位列榜首。
　　那这个公式是怎么来的呢？
　　来看个函
　　，这个函数突出一个不好计算，因为e是个无理数啊，于是数学家们就想出了一个用多项式函数来逼近这个函数的方法，简单说，这个函数不好算，我们整个近似的函数，经过一番精密的计算（泰勒公式），发现：
　　同样，三角函数sinx和cosx也不太好求值把，不慌，我们也可以取近似值的：
　　是不是觉得长得有点像，因为右边都是多项式嘛，对的，就是要转变为多项式因为比较容易计算，至于这些式子是怎么得到的，这又是另外一个问题了。
　　把
　　展开式中的x换成ix看看：
　　即
　　，将x代入，得
　　，
　　即
　　也是就是这个式子本式！
　　04hr一点皮毛
　　亲和数：毕达哥拉斯学派曾经发现这样一组数：220和284。有什么特别之处呢？220的所有因数（本身除外）之和等于284，同样，284的所有因数之和也等于220，于是称它们为一对亲和数。1636年，费马发现了另一对亲和数：17296和18416，两年之后笛卡尔也发现了一组9363584和9437056，确实不太容易啊！后来在1750年，欧拉一次性给出了60对
　　欧拉公式2：VEF2。这个公式小学应该就见过，也叫欧拉公式。没办法，欧拉提出的公式太多，但人名只有一个，只好委屈委屈都叫欧拉公式了。任何多面体的顶点数（V）、棱数（E）、和面数（F）都满足VEF2。比如正方体有8个顶点，12条棱，6个面，81262。欧拉的学生柯西利用这个公式证明出，正多面体只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
　　欧拉公式3：
　　。三角形外心O与内心I的距离为d，外接圆半径为R，内切圆半径为r，即有
　　。
　　九点圆：任意三角形中，三边的中点、三条高的垂足、垂心与三角形三个顶点连线的中点，这九个点共圆。
　　欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心在同一直线上，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
　　哥尼斯堡七桥问题：在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来，是否可能从这四块陆地的人一块出发，恰好通过每座桥一次并最终回到起点？欧拉并没有找到这样的操作，但他证明了这是不可能实现的，顺带还开创了一个数学新的分支图论。
　　费马猜想：形如
　　的数始终是素数。欧拉说：
　　天晓得他是怎么算出来的。
　　费马小定理：如果p是素数，且a是不能被p整除的整数，则
　　能被p整除。欧拉不仅证明了这个定理，还顺带提出了更一般性的结论：若n、a为正整数且互质，则：
　　费马大定理：当n