con是什么（con是什么数学）

　　（观看相应的视频：第六章：复数，续）这章通过在复平面上变换的动画演示加深人们对复数概念的直观感觉。
　　一个变换T是一个操作把对于每一个平面内的点，也即复数z与另一点T（z）联系起来。为了展示变换，我们把法国数学家杜阿迪的照片放在平面上，显示它经过变换后的样子：相片上的每个像素都是经过T变换得到的。
　　杜阿迪以自己个照片为例举了下面复平面变换T函数的例子。T（z）z2
　　每一个数都除以2，图片被因子2缩小了：一个反向变焦（reversezoom）！我们把这称作位似变换。T（z）iz
　　由i的定义可知，这即旋转四分之一圆周。
　　T（z）（1i）z
　　1i的模是2，它的辐角是45。这是由旋转45和2因子位似复合的变换。这叫做相似。这是复数的一大优势：它容许我们把简单相似描述成乘法。
　　T（z）z
　　这是我们的第一个非线性变换。通过把相片放在不同点，我们就会了解在复平面上应用平方的效果：模被平方辐角被加倍。
　　T（z）1z
　　这个变换的作用与俗称的反演（inversion）相似。与0相对应的原点不能被变换。但是我们约定原点被变换到无穷点。原因很简单：如果一个复数z接近0，即模趋于0，被变换后的数1z的模z的模的倒数，将趋于无穷大。这个变换有爆破的性质，把靠近原点的领域内的点移至很远处，越过萤幕的边界相反地，离原点很远的点被压至原点附近。
　　长久以来，学术书籍中都很重视反演，因为它协助我们证明相当漂亮的定理。反转最主要的性质是把圆变换成圆或直线。艺术家利用这种类型的变换，而把它称作失真（anamorphosis）。T（z）（azb）（czd）
　　更普遍地，如果我们选取四个复数a、b、c、d，考虑变换T（z）（azb）（czd）。
　　这些变换在数学中有好几个名字Moebius变换，射影变换，单应变换（homographies）但是它们首要的性质是把圆变换成圆或直线。这是一种美丽的几何共形几何的一个变换群。这种几何和非欧几何相似，这已是另一个主题了！T（z）zkz
　　俄罗斯科学家茹科夫斯基在他开拓机翼的空气动力学（theaerodynamicsofairfoils）的过程中研究过这个变换。这个图示的意义在于它展示了这种类型变换的基本性质。当然它不再保圆（只有Moebius变换保圆），但是在无穷小的范围内它还是保圆的。这些变换叫做全纯的（holomorphic）或共形的（conformal）。希腊语与拉丁语词根holo与con意思是一样（same），morph意思是形状（form）：换句话来说，这些变换保持形状。全纯函数（holomorphicfunctions）的研究在数学中占很重要的地位。
　　六、复变动态系统
　　在第六章的第二部分，杜阿迪介绍了一个重要分支，他也是这个分支的贡献者之一。是关于茱莉亚集合（Juliaset）的研究，这不仅是基于数学上的兴趣，更是由于它出奇地美丽（当然这两点也有关联）。很少见一个强大的数学理论能以如此美丽的形式展示出来。许多艺术家被这些图像激发灵感。
　　开头的想法很简单：我们随意取一个复数c。考虑变换Tc（z）zc。它先复数z平方然后平移c。在起始点z，变换的结果是z1Tc（z）。我们进而可以考虑它的变换结果z2Tc（z1），我们一直这样无穷下去，产生复数序列zn，每个数都由前一个数变换得到。我们说在变换Tc下，序列zn处于起始点z的轨道（orbit）中。研究序列zn的性质，就是要了解Tc的动力学（dynamics）。下面一个简单的例子，足以体现数学之美。
　　首先考虑c0的情况。这时变换实际就是重复Tc（z）z2。每个复数zn的模都是前一个的平方。如果z的模小于等于1，即z处于以原点为中心半径为1的圆内，那么所有的zn都将处于圆内。另一方面，如果复数z模大于1那么zn的模会一直增长趋于无穷。z的轨道最终将超越萤幕！
　　在第一种情况下，我们说轨道是稳定的（stable），它始终处于平面一块有界区域内。第二种情况下它是不稳定的（unstable），它趋于无穷。因此使轨道稳定的点z的集合是圆。
　　更普遍地，对于c的每一个值，我们也能得到点z两种轨道。变换Tc下z的轨道是稳定的，如果它始终处于平面一块有界区域内，否则就是不稳定的。使轨道稳定的z的点集称作变换Tc的填充茱莉亚（filledinJuliaset）。了解这些Julia集的结构以及它们如何随c变化而变化是解析动力系统（holomorphicdynamicalsystems）理论的一个重要目的。首先，杜阿迪给我们展示一些在不同的c下茱莉亚集合的例子。它们中的一些有奇特的名字，比如兔子（你看见它的耳朵了吗？）是在c0。120。77i情况下得到的。
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　　从二十世纪初起人们就知道茱莉亚集合分为两种。它可以像我们展示的例子里一样，是单独一块部分，用数学家的话来说就是连通的（connected）或者它完全不连通，由无穷多个独立的碎片组成，每个的内部都是空集，我们在图像上看不到它！能使我们看见茱莉亚集（茱莉亚集连通）的点c的集合称作曼德博集合，为了纪念本华曼德博。为了了解这集合杜阿迪作；他在证实集合是连通的这方面做出了贡献，他也会很乐意展示给我们集合是局部连通的
　　这章的末尾重在进入绚丽曼德博集合图形之中，欣赏当放大倍数达到了两千亿的数量级后那神奇的世界！
　　我们可以以两种方式观察这景象。我们可以仅仅欣赏它：它足够美了！或者我们可以问自己一些问题
　　比如，颜色的意义是什么？一个古老的定理告诉我们Julia集不是连通的（或者说c不在Mandelbrot集中）当且仅当在变换Tc下0的轨道是不稳定的。对于给定的c值我们观察Tc下z0的轨道及其在n取值很大时的行为。如果zn非常迅速地变大，就意味着c不在Mandelbrot集中，甚至远离它。如果序列zn趋于无穷大，但是更缓慢些，那么c仍然不在Mandelbrot集中，只是稍微靠近它。c的颜色取决于序列zn趋于无穷的速度，也体现了它离Mandelbrot集的距离。另一方面如果zn处于一块有界区域中，那么c在Mandelbrot集中，它的颜色也就是黑色。
　　图中的曼德博色的，但是也有其它着色方法。影片中，我们用三角不等式：zn的模增大超过一确定值时，计算模Aznz（n2），Bznz（n1）和Cz（n1）z（n2）。
　　A（BC）是一个取值总在0和1之间的量，我们用这个数确定一个调色盘上的位置。
　　为什么有时我们会看到曼德博集合的小的复制个体？解释这个很困难，这也是杜阿迪的重要发现之一：曼德博集合有自相似性，分形集合的一个常见性质。要想对此了解更多，参见这个页面。