周期函数（掌握好函数的周期性）

　　周期函数（掌握好函数的周期性）
　　函数，大家都很熟悉，可以说是中学数学学习阶段最主要、最核心的内容之一。一个人如果要想学好数学，在中考高数学中取得高分，那么他就必须学好函数，掌握好函数所有知识内容。因此，可以毫不夸张地说，函数是整个中学数学的基础。
　　函数的知识内容之所以会成为中高考数学的重点与热点，那是因为跟函数相关的题型，可以千变万化、多种多样，能很好考查大家运用知识解决问题的能力，考查大家数学逻辑能力，考查大家在数学解题过程中表现出来的思维能力等等。
　　因此，今天我们就一起来讲一讲函数当中非常重要的一个性质，就是函数的周期性。函数的周期性是作为函数的一个基本性质，不仅常常出现在数学函数问题当中，而且我们如果利用函数的周期性去解决问题，往往能使一个复杂问题得到更加简便的解决。
　　什么是函数的周期性？
　　周期性这个词组从语文的角度来说，就是有规律地重复出现。
　　因此，对于任意实数（自变量有意义），当我们的自变量增大或减小时，函数值有规律的重复出现，我们就称之为周期性。
　　用具体数学语言去讲就是：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）f（xT）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
　　假如函数f（x）f（xT）（或f（xa）f（xb）（其中abT），则说T是函数的一个周期，T的整数倍也是函数的一个周期。
　　典型例题1：
　　关于yf（x），给出下列五个命题：
　　若f（1x）f（1x），则yf（x）是周期函数；
　　若f（1x）f（1x），则yf（x）为奇函数；
　　若函数yf（x1）的图象关于x1对称，则yf（x）为偶函数；
　　函数yf（1x）与函数yf（1x）的图象关于直线x1对称；
　　若f（1x）f（1x），则yf（x）的图象关于点（1，0）对称
　　填写所有正确命题的序号
　　解析：由f（1x）f（1x）可知，函数周期为2，正确；
　　由f（1x）f（1x）可知，yf（x）的对称中心为（1，0），错；
　　yf（x1）向左平移1个单位得yf（x），故yf（x）关于y轴对称，正确；
　　两个函数对称时，令1x1x得x0，故应关于y轴对称，错；
　　由f（1x）f（1x）得yf（x）关于x1对称，错。
　　故正确的应是。
　　答案：
　　大家要记住一个概念，就是最小正周期。
　　对于一个函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f（x）的最小正周期。
　　简单地说：在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
　　如对于正弦函数ysinx，自变量x只要并且至少增加到x2时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2。
　　值得注意：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。
　　周期函数性质：
　　1、若T（0）是f（X）的周期，则T也是f（X）的周期。
　　2、若T（0）是f（X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（X）的周期。
　　3、若T1与T2都是f（X）的周期，则T1T2也是f（X）的周期。
　　4、若f（X）有最小正周期T，那么f（X）的任何正周期T一定是T的正整数倍。
　　5、T是f（X）的最小正周期，且T1、T2分别是f（X）的两个周期，则（Q是有理数集）
　　6、若T1、T2是f（X）的两个周期，且是无理数，则f（X）不存在最小正周期。
　　7、周期函数f（X）的定义域M必定是双方无界的集合。
　　重要推论：
　　1、若有f（x）的2个对称轴xa，xb。则T2ab
　　2、若有f（X）的2个对称中心（a，0）（b，0）则T2ab
　　3、若有f（x）的1个对称轴xa，和1个对称中心（b，0），则T4ab
　　同时，在很多数学问题当中，周期性问题往往会和函数的奇偶性联系在一起。周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。因此，大家如果想要更能更好的去解决周期性类问题，也要深入掌握好函数奇偶性的性质，如奇、偶函数的有关性质：
　　1、定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；
　　2、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；
　　3、若奇函数f（x）在x0处有定义，则f（0）0；
　　4、利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反
　　典型例题2：
　　大家一定要记住，利用函数的周期性是求解周期函数问题是基本的方法。此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题。
　　在研究函数周期性过程中，我们发现函数的周期性还充分体现了数学美。函数学习，不要想的太枯燥，要学会从抽象的背后发掘数学美，发掘内在的数学思想，最终提升自身的数学素养。