自序 数学与人同在。 这是我所著的高中数学教科书《数学的应用》(启林馆出版)中的基本理念。在学校教科书中被省略的也即是＂数学是故事＂这一点。数学是历经2000多个春秋编织而成的壮丽诗篇。 我们生存在奔流不止的时间长河中，肉眼看不见的时间在我们的身体中，在整个自然中流逝着。时间是由我们的记忆与群星的流转构筑而成的。 人类在学会通过观察群星的运转来确认时间之前，经历了漫长的岁月。由此也创造出了＂天文学＂这门学问，并对研究空间与时间学系——物理学也产生了深远的影响。 数学是故事。但在教科书上，我们并没有把数学当作故事来讲。教科书中的所有内容都是很唐突的。在小学里学习的＂算术＂，到了中学突然就变成了＂数学＂。方程、三角函数、指数、对数、微积分接连登场，这些知识就像是毫无预兆的狂风暴雨一般向我们袭来。我们在突如其来的暴风雨中饱受摧残，一波未平一波又起，数学带来的疾风骤雨，将会毫不停歇、接二连三地袭来。 我们无从知晓数学这场风暴会在何时结束。如果鼓起全部勇气问数学老师＂数学是为了什么而存在的呢?＂ ＂为什么一定要学数学呢?＂的话，恐怕老师又会就着＂为了考试＂而大说特说，不由分说地教训你一番。 而大家＂讨厌数学＂的根本原因，难道不是因为＂讨厌老师教数学的方法＂吗? 数学是人类倾注心血凝结而成的智慧结晶，是最宝贵的知识财富。数学有着辉煌的过去，正在经历当下，并向未来进发。古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》，可以说是数学史诗的开端。 我在研究数学时，有时会突然这样想：这篇史诗，究竟有多少页呢? 假如想要将《几何原本》迄今两千多年所有的数学典籍、论文编辑成一套书，为了收藏这部书，我们又该建一个多么庞大的图书馆呢? 数学这篇壮丽的史诗中，记载着人类是如何通过知识的传承，将＂无穷＂ ＂永远＂这些某个人类绝对无法掌握的至宝悉数掌握的。如此有趣的故事，却被教科书讲述得无聊至极，这实在是令人感到万分遗憾。 本书是关于我选出的数学家、物理学家们的故事。它其实更是一本对将我领入科普写作事业的全明星阵容的介绍。纳皮尔、爱因斯坦、仁科芳雄、拉马努金……他们的人生和伟绩，曾经深深地触动了我的心灵。 数学这个故事，在此时此刻也正在产生新的发现，正在被数学家们翻开新的一页。 数学，是一个＂ Never Ending Story(没有结尾的故事)＂。纳皮尔：拯救了无数人的性命——关于对数的史诗对数背后隐含的感人故事 约翰·纳皮尔(1550-1617) 发现了对数，发明了＂纳皮尔的骨头(一种用于简化计算的工具)＂，也是如今人们使用的小数点记号的发明者。 我上高二的时候，在课上学习了对数。课上，老师告诉我们＂2³=8＂可以变形为＂3=log₂8＂，但我却并不明白这是为什么。我十分奇怪＂这么麻烦的计算到底有什么意义啊?＂ 就是在那时，我从一本介绍数学家的书上认识了纳皮尔。书上记录的事实真相，不仅解开了我的困惑，更令我万分震惊。 ＂对数的发明，是为了让天文学的计算更加简便，同时也是为了帮助在航行中备受折磨的船员们。＂ 我记得书中是这样说的：数学，是一门能够拯救人的生命的学系……在那之后，纳皮尔就一直活在我的心中。 数学很容易被人误会成一门＂没有人情味的、冰冷的，只存在于数字世界的学问＂。但它实际上是一门动人心弦的、充满激情的学系。 数学并不仅仅追求实用性。数学家们与金钱、地位无缘，仅仅是为了追求真理而踏入数学的世界。而他们的追求，在结果上却造福了无数的世人。 比如说，法国数学家皮埃尔·德·费马提出的＂费马大定理＂，这是一个关于整数的著名定理。经过大约三百六十年的岁月，费马大定理终于在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯(1953~)所证明。而在人们摸索证明的过程中诞生的数学发现，被应用于密码技术之中，而密码技术正是互联网技术不可或缺的一部分。如果没有密码技术，互联网想必不会如此发达。所有信息都暴露在光天化日之下的通讯方式，是派不上任何用场的。 就像这样，数学从结果上来讲能够为人类提供帮助，有时甚至还能拯救人的生命。对数，就是这样一个绝佳的例子。 对数长期以来在数学界应用率颇高。我们之所以能够受益于科技发展，建立起极为发达的文明社会，也是托了对数的福。如果没有对数，日本是无法建立起如此先进的工业国家的。 很少有人知道，纳皮尔曾经冒着生命危险追求对数的真理。其实，有很多日本人一听到＂对数＂两个字就头皮发麻。光是看到＂log＂的符号，恐怕就会有人表示＂我就是因为你才讨厌数学的＂。 但是，对数可以说是一个爱的结晶。在对数被发现的背后，隐藏着一个男人的伟大史诗。在本章，我将要介绍一个伟男子，他为了拯救世人的生命，独自一人勇闯黑暗的数学世界。 故事，发生在16世纪的苏格兰。 约翰·纳皮尔于1550年诞生于这个世上，他生于苏格兰首都爱丁堡西南方的梅奇斯顿城内。他生来就是要成为梅奇斯顿城的第八代领主的人。 随着年龄的增长，纳皮尔开始展现出非凡的才华。他13岁时已经进入大学学习宗教学。身为城主之子，他还统领起当地的居民，用充满个人色彩的奇思妙想解决了各种各样的难题。 譬如，有农民希望＂让土地增收＂，纳皮尔就采用新型肥料，还发明了抽水机，在农业、土木工程的技术开发方面也有所建树。 有一次，纳皮尔听农民反映＂有来路不明的怪物啃坏了农田＂，就发明了一种大炮，能够将周长4英里(约为6.4千米)的田地中体型超过1英尺的生物全部消灭。 在煤矿工作的矿工反映＂矿里涌出了地下水，我们没法继续工作＂，纳皮尔就发明了能够将矿坑内的积水排出，控制矿坑内水位高度的螺旋推进器。早在16世纪，他就发明了能在水中转动螺旋翼的技术！ 用现在的话来说，纳皮尔算是一个发明家。不仅如此，他还是一名为了帮助他人而施展才华的优秀工程师。 纳皮尔还开发了包括潜水艇、战车在内的许多武器，这些想来也是为了让领地内的人民感到安全放心而发明的。 那时的欧洲，处于一个战乱的年代。苏格兰人民十分畏惧当时全欧洲最强的国家——西班牙，会从海上侵略自己。 向神秘莫测的计算世界进发 当时的欧洲正处于战乱年代，同时也正处于大航海时代的高潮。欧洲资源贫瘠，想要发展，只能前往新的大陆寻找资源。西班牙等列强利用当时最先进的技术，建造了大型船舰，竞相在世界各大洋中开辟新航路，争夺霸权。 各个大国想要寻找的是印度。当年，印度拥有许多欧洲人喜爱的产品作物。哥伦布受命于西班牙女王，出海远行，最终能够发现美洲大陆，也是因为想要从西方开辟一条通往印度的航路。纳皮尔想必也经常听人提及航海的话题吧。 在当时的背景下，航海天文历和海难也是各个天文台最热门的话题。所谓＂航海天文历＂，指的是预测天体运行的历法。在当今社会每年也都会发行新版，但在过去那个没有计算器的年代，需要大量运算作支撑的航海天文历是很不精准的。 因为航海天文历准确性过低，出海远航的船员们往往会束手无策。他们需要观测出准确的时间及天体位置，并同航海天文历进行对照，从而得出自己当前所处的大概位置。如果航海天文历不准确，他们就会判断失误，驶向错误的方向。这在当时就意味着必将遇难，也就是死亡。 请你闭上眼睛，简单想象一下。 现在，你行驶在一片漆黑的太平洋的正中央，原本十天之前就应该抵达目的地了，然而一天又一天过去，你却一直看不到陆地的影子。 这天晚上，你幸运地看到了星星。 你拿出了六分仪(用来测量角度的仪器)，把星星的位置翻来覆去地测量了好几遍，又看了看表，记录了现在的时间。没有问题。于是你把这些数据拿去和航海天文历一一对照，为了避免出错，你还多算了几次。 然而，尽管你是如此的谨慎细致，到了第二天早上，你还是没有看到本应早就抵达的陆地。你能看见的，只有远方无尽的海平面……就这样，你在漫无尽头的汪洋中漂泊着，最终，船员们也一个接一个地葬身鱼腹。 在发明对数之前，皮尔一直在研究＂球面三角学＂。 在类似于地球这样的球体表面出现的三角形被称为球面三角形。球面上连接两点的最短曲线被看作是直线。由这样的直线形成的三角形就是球面三角形。研究其＂边长＂＂角度＂关系的学系就是球面三角学。 在大航海时代想要远洋航海，就需要计算出发地和目的地之间的距离，也就是说需要计算所谓的球面弧长。 纳皮尔在研究过程中，建立了＂纳皮尔比拟式＂和纳皮尔圆部法则＂。 球面三角学的计算中，会出现天文学的相关计算。第10页的图片是一个题例，由地球上两地间的经纬度来计算两地间的距离。而大家都很熟悉正弦(sin)函数、余弦(cos)函数等的三角函数，它们彼此间的相乘运算是非常复杂的。 天文学家们需要准确的航海天文历。然而，编写天体运行历法的每一个过程，都需要计算。想要预测天体的运动，就必须要计算真正意义上的＂天文级数字＂。而且每年都必须重新计算一次。 天文学家们纷纷哀号：＂这是不可能完成的任务！＂ 当纳皮尔发现天文学家面对庞大的计算量袖手旁观时，肯定非常义愤填膺吧，他一定会觉得＂难道真的没有办法了吗?＂ 同时，他恐怕还想象过命丧汪洋的船员们的痛苦挣扎，因而感到万分焦虑吧。 最后，他终于选择挺身而出。 ＂好，那就由我来让航海天文历的计算变得更简单。＂ 这时，纳皮尔已经44岁了。400年以前,44岁已经算是步入人生的晚年了。他在这个随时都有可能离开人世的年纪，选择踏上前往神秘计算世界的旅途，并且还是孤身一人。仅这一点，已经足够震撼人心了。 使用对数，能够将乘法运算转换为加法运算 在此，我将对对数进行简单的说明。所谓对数，是运算上的一种转换系统，是能够把乘法运算转换为加法运算，将除法运算转换为减法运算的方法。 举一个简单的例子。 ＂1000×100＂的结果在草稿纸上就能算出来，同时，我们也可以通过将＂1000＂和＂100＂的＂0＂相加，得出答案为＂100000＂。 也就是说，把＂1000＂看作是＂10＂的三次方，把＂100＂看作是＂10＂的平方，将三次方和平方的3与2相加即可得出答案。 纳皮尔注意到了这一数字的法则，总结出了对数的概念。 在此，希望大家注意的，是＂乘法运算转变为加法运算＂这一点。计算＂1000×100＂的话，使用乘法运算确实会更快，但如果数字位数较大、需要手动计算时，使用加法运算明显会更加简单。 如果，按照将100看作2、将1000看作3的思路，将各种数字转换为其他数字，并制作出一览表的话，就能够将乘法运算转换为加法运算，使得计算变得更为简单。 纳皮尔想要做的，简单而言，就是制作出能够将乘法运算转换为加法运算的机制(算法)。 看到这里，也许有读者会想＂这不就是指数运算的法则吗?＂ 即是说，按照指数运算的法则＂aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ＂来思考的话，1000×100=10³×10²=10³⁺²=10⁵=100000。如此，则可导出正解。 然而，在纳皮尔时代并没有指数(书写在数字右上角的小数字)这样一种书写方式，指数的概念也很不明确。 纳皮尔的伟大之处也正在于此。纳皮尔在没有指数这一概念的情况下发现了对数，并将其归纳为一个体系。 如今在日本，对数是高中的数学课上学习的知识。翻开课本，对数是在学习指数之后才会学习的知识点。例如，在y=aˣ当中x=logₐy 。 ＂3=log₂8＂这一对数表达的含义为＂以2为底，8的对数为3＂。 ◆幂运算法则与对数 幂运算法则： a