如何求矩形对角线的长度

　　在本文中：使用长和宽使用面积和周长使用面积和边长的相对关系
　　对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。一个矩形有两条对角线，它们长度相等。如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。
　　方法
　　1：使用长和宽
　　1：列出勾股定理的公式。该公式是
　　｛displaystylea｛2｝b｛2｝c｛2｝｝
　　，其中
　　｛displaystylea｝
　　和
　　｛displaystyleb｝
　　是直角三角形直角边的边长，而
　　｛displaystylec｝
　　是直角三角形的斜边长度。
　　由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
　　2：将长和宽代入到公式中。长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是
　　｛displaystylea｝
　　和
　　｛displaystyleb｝
　　。
　　例如，如果矩形的宽是3cm，而长是4cm，代入公式后得到如下等式：
　　｛displaystyle3｛2｝4｛2｝c｛2｝｝
　　。
　　3：算出长和宽的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
　　例如：
　　｛displaystyle3｛2｝4｛2｝c｛2｝｝
　　｛displaystyle916c｛2｝｝
　　｛displaystyle25c｛2｝｝
　　4：将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出
　　｛displaystylec｝
　　的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
　　例如：
　　｛displaystyle25c｛2｝｝
　　｛displaystyle｛sqrt｛25｝｝｛sqrt｛c｛2｝｝｝｝
　　｛displaystyle5c｝
　　因此，宽为3cm，而长为4cm的矩形，其对角线的长度是5cm。
　　方法
　　2：使用面积和周长
　　1：列出矩形的面积公式。该公式是
　　｛displaystyleAlw｝
　　，其中
　　｛displaystyleA｝
　　为矩形的面积，
　　｛displaystylel｝
　　为矩形的长，而
　　｛displaystylew｝
　　为矩形的宽。
　　2：将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量
　　｛displaystyleA｝
　　。
　　例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：
　　｛displaystyle35lw｝
　　。
　　3：变换等式，使之变成
　　w｛displaystylew｝
　　的表达式。等式两边都除以
　　｛displaystylel｝
　　。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。
　　例如：
　　｛displaystyle35lw｝
　　｛displaystyle｛frac｛35｝｛l｝｝w｝
　　。
　　4：列出矩形的周长公式。该公式是
　　｛displaystyleP2（wl）｝
　　，其中
　　｛displaystylew｝
　　为矩形的宽，而
　　｛displaystylel｝
　　为矩形的长。
　　5：将周长的值代入到公式中。确保你代入的是变量
　　｛displaystyleP｝
　　。
　　例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式：
　　｛displaystyle242（wl）｝
　　。
　　6：等式两边都除以2。这样就算出了
　　｛displaystylewl｝
　　的值。
　　例如：
　　｛displaystyle242（wl）｝
　　｛displaystyle｛frac｛24｝｛2｝｝｛frac｛2（wl）｝｛2｝｝｝
　　｛displaystyle12wl｝
　　。
　　7：将
　　w｛displaystylew｝
　　的表达式代入到等式中。使用你变换面积公式得到的表达式。
　　例如，如果使用你变换而得的表达式
　　｛displaystyle｛frac｛35｝｛l｝｝w｝
　　，把它代入周长公式中的
　　｛displaystylew｝
　　：
　　｛displaystyle12wl｝
　　｛displaystyle12｛frac｛35｝｛l｝｝l｝
　　8：去掉等式中的分母。等式两边都乘以
　　｛displaystylel｝
　　。
　　例如：
　　｛displaystyle12｛frac｛35｝｛l｝｝l｝
　　｛displaystyle12timesl（｛frac｛35｝｛l｝｝timesl）（ltimesl）｝
　　｛displaystyle12l35l｛2｝｝
　　9：使等式一边等于0。等式两边都减去一次项。
　　例如：
　　｛displaystyle12l35l｛2｝｝
　　｛displaystyle12l12l35l｛2｝12l｝
　　｛displaystyle035l｛2｝12l｝
　　10：按项次对等式重新排序。这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。
　　例如，
　　｛displaystyle035l｛2｝12l｝
　　变成了
　　｛displaystyle0l｛2｝12l35｝
　　。
　　11：将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
　　例如，方程
　　｛displaystyle0l｛2｝12l35｝
　　可因式分解成
　　｛displaystyle0（l7）（l5）｝
　　。
　　12：求
　　l｛displaystylel｝
　　的值。令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。
　　例如：
　　｛displaystyle0（l7）｝
　　｛displaystyle7l｝
　　及
　　｛displaystyle0（l5）｝
　　｛displaystyle5l｝
　　。
　　因此，矩形的长和宽分别为7cm和5cm。
　　13：列出勾股定理的公式。该公式是
　　｛displaystylea｛2｝b｛2｝c｛2｝｝
　　，其中
　　｛displaystylea｝
　　和
　　｛displaystyleb｝
　　是直角三角形直角边的边长，而
　　｛displaystylec｝
　　是直角三角形斜边的边长。
　　由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
　　14：将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
　　例如，如果你算出矩形的宽和长为5cm和7cm，代入后得到如下等式：
　　｛displaystyle5｛2｝7｛2｝c｛2｝｝
　　。
　　15：算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
　　例如：
　　｛displaystyle5｛2｝7｛2｝c｛2｝｝
　　｛displaystyle2549c｛2｝｝
　　｛displaystyle74c｛2｝｝
　　16：将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出
　　｛displaystylec｝
　　的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
　　例如：
　　｛displaystyle74c｛2｝｝
　　｛displaystyle｛sqrt｛74｝｝｛sqrt｛c｛2｝｝｝｝
　　｛displaystyle8。6024c｝
　　因此，面积为
　　｛displaystyle35cm｛2｝｝
　　而周长为24cm的矩形，其对角线长度约等于8。6cm。
　　方法
　　3：使用面积和边长的相对关系
　　1：写下能够说明两条边边长之间关系的等式。你可以将之写成长（
　　｛displaystylel｝
　　）或宽（
　　｛displaystylew｝
　　）的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。
　　例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2cm，你可以列出
　　｛displaystylew｝
　　的表达式：
　　｛displaystylewl2｝
　　。
　　2：列出矩形的面积公式。该公式是
　　｛displaystyleAlw｝
　　，其中
　　｛displaystyleA｝
　　为矩形的面积，
　　｛displaystylel｝
　　为矩形的长，而
　　｛displaystylew｝
　　为矩形的宽。
　　如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是
　　｛displaystyleP2（wl）｝
　　，其中
　　｛displaystylew｝
　　为矩形的宽，而
　　｛displaystylel｝
　　为矩形的长。
　　3：将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量
　　｛displaystyleA｝
　　。
　　例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：
　　｛displaystyle35lw｝
　　。
　　4：将长或宽的关系表达式代入公式中。由于你面对的是一个矩形，所以求
　　｛displaystylel｝
　　或
　　｛displaystylew｝
　　变量的值都可以。
　　例如，如果你知道
　　｛displaystylewl2｝
　　，可以将这个表达式代入面积公式中的
　　｛displaystylew｝
　　：
　　｛displaystyle35lw｝
　　｛displaystyle35l（l2）｝
　　5：列出二次方程。用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。
　　例如：
　　｛displaystyle35l（l2）｝
　　｛displaystyle35l｛2｝2l｝
　　｛displaystyle0l｛2｝2l35｝
　　6：将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
　　例如，方程
　　｛displaystyle0l｛2｝2l35｝
　　可因式分解成
　　｛displaystyle0（l7）（l5）｝
　　。
　　7：求
　　l｛displaystylel｝
　　的值。令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。
　　例如：
　　｛displaystyle0（l7）｝
　　｛displaystyle7l｝
　　及
　　｛displaystyle0（l5）｝
　　｛displaystyle5l｝
　　。
　　在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5cm。
　　8：将长或宽的值代入到关系表达式中。这样就算出了矩形另一条边的边长。
　　例如，如果你知道矩形的长为5cm，且边长之间的关系为
　　｛displaystylewl2｝
　　，可以将长的值5代入到表达式中：
　　｛displaystylewl2｝
　　｛displaystylew52｝
　　｛displaystylew7｝
　　9：列出勾股定理的公式。该公式是
　　｛displaystylea｛2｝b｛2｝c｛2｝｝
　　，其中
　　｛displaystylea｝
　　和
　　｛displaystyleb｝
　　是直角三角形直角边的边长，而
　　｛displaystylec｝
　　是直角三角形斜边的边长。
　　由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
　　10：将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
　　例如，如果你算出矩形的宽和长为5cm和7cm，代入后得到如下等式：
　　｛displaystyle5｛2｝7｛2｝c｛2｝｝
　　。
　　11：算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
　　例如：
　　｛displaystyle5｛2｝7｛2｝c｛2｝｝
　　｛displaystyle2549c｛2｝｝
　　｛displaystyle74c｛2｝｝
　　12：将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出
　　｛displaystylec｝
　　的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
　　例如：
　　｛displaystyle74c｛2｝｝
　　｛displaystyle｛sqrt｛74｝｝｛sqrt｛c｛2｝｝｝｝
　　｛displaystyle8。6024c｝
　　因此，宽比长要长2cm，且面积为
　　｛displaystyle35cm｛2｝｝
　　的矩形，其对角线的长度约等于8。6cm。