科普下面面垂直可以推出线线垂直吗及线面垂直几何法判定定理
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线面垂直几何法判定定理
已知l⊥m,l⊥n,m,n⊂α,m∩n=E。求证:EF⊥α
因为平移不改变角度,所以可以通过平移把所有的直线移动到相交于一点的位置来证明。
证明:∵l⊥m,l⊥n
∴在α内所有与m或n平行的直线都与l垂直。
接下来证明那些与m,n不平行的直线也与l垂直。
取m上A,B两点,取n上C,D两点,使AE=BE,CE=DE
连接AD,BC,过E作任意一条直线,该直线与AD,BC交点为G,H(稍后将讨论GH与AD,BC平行的情况)
取l上异于E的点F,连接FA,FG,FD,FB,FH,FC
∵AE=BE,CE=DE,∠AED=∠BEC
∴△AED≌△BEC(SAS)
∴∠DAE=∠CBE,AD=BC
∵∠AEG=∠BEH
∴△AEG≌△BEH(ASA)
∴AG=BH,GE=HE
∵EF⊥AB,AE=BE
∴FA=FB
同理,FC=FD
∴△FAD≌△FBC(SSS)
∴∠FAG=∠FBH
∴△FAG≌△FBH(SAS)
∴FG=FH
又∵GE=HE
∴FE⊥GH
由GH的任意性可知,EF垂直平面内任意与AD,BC都不平行的直线
当GH∥AD∥BC时,可以连接AC,BD,那么GH必与AC,BD相交
之后证明方法同上,只需要改字母即可。
根据线面垂直的定义,l⊥α
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