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　　直线与平面平行的判定定理定理
　　平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。已知：ab，anotin；alpha；，bsub；alpha；，求证：aalpha；反证法证明：假设a与alpha；不平行，则它们相交，设交点为A，那么Aisin；alpha；ab，there4；A不在b上在alpha；内过A作cb，则acap；cA又ab，bc，there4；ac，与acap；cA矛盾。there4；假设不成立，aalpha；向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面alpha；的法向量为p。bsub；alpha；there4；bperp；p，即pmiddot；b0ab，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得akb那么pmiddot；apmiddot；kbkpmiddot；b0即aperp；pthere4；aalpha；定理2平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。已知：aperp；b，bperp；alpha；，且a不在alpha；上。
　　求证：aalpha；证明：设a与b的垂足为A，b与alpha；的垂足为B。假设a与alpha；不平行，那么它们相交，设acap；alpha；C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到ABCBisin；alpha；，Cisin；alpha；，bperp；alpha；there4；bperp；BC，即ang；ABC90deg；aperp；b，即ang；BAC90deg；there4；在ABC中，有两个内角为90deg；，这是不可能的事情。there4；假设不成立，aalpha；。

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