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科普下三角形重心有什么性质及三角形重心21怎么证明

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  性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小性质四、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。
  三角形的垂心定理:在三角形ABC中,求证:它的三条高交于一点。
  证明:如图:作BEperp;AC于点E,CFperp;AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D。
  现在我们只要证明ADperp;BC即可。
  因为CFperp;AB,BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
  四边形AFHE为圆内接四边形。
  所以ang;FAHang;FEHang;FEBang;FCB
  由ang;FAHang;FCB得
  四边形AFDC为圆内接四边形所以ang;AFCang;ADC90deg;即ADperp;BC。
  点评:以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
  还可以通过向量证明。
  已知ABC的两条高AD,BE相交于H,连接CH,求证CHperp;AB
  证明:设HAa,HBb,HCc
  则BCcb,ACca,ABba
  HAperp;BC,there4;a(cb)0
  即acab
  同理,bcab
  there4;acbc,即c(ba)0
  there4;CHperp;AB
  证法三:运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明。
  已知:ABC中,AD,BE,CF是高。求证:AD,BE,CF相交于一点。
  证明:过A作直线aBC,过B作直线bAC,过C作cAB,设a与b交点为C39;,a与c交点为Brsquo;,b与c交点为Alsquo;
  ACrsquo;BC,ACBC39;
  there4;四边形ACBC39;是平行四边形
  there4;AC39;BC
  同理,AB39;BC
  there4;AB39;AC39;,A是B39;C39;中点
  ADperp;BC,BCB39;C39;,there4;ADperp;B39;C39;,即AD是Blsquo;Crsquo;的垂直平分线
  同理,BE是A39;C39;的垂直平分线,CF是A39;B39;的垂直平分线
  三角形三边的垂直平分线交于一点
  there4;AD,BE,CF交于一点

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