在所有实数中任取一个数，是有理数的概率居然是0！最严格证明！

　　文章标题这句话换一个说法就是：在实数轴上任意取一个点，这个点对应的实数是有理数的概率是0！
　　首先明确，这个结论在数学语言中是绝对正确的，是毫无争议的！
　　也许你会想到，有理数有无穷多个，完全有可能这个点就落在了原点处，对应的实数就是有理数0，那么取到有理数的概率怎么可能是0呢？
　　在纯理论的角度，确实有可能取到的点对应的实数是有理数。但在严密的数学体系下，取到有理数的概率只能是0！
　　接下来进行严格的证明，取到有理数的概率是0！
　　整个实数轴太复杂，我们把问题简化一些，只考虑闭区间〔0，1〕上的所有点。问题转化为：在区间〔0，1〕上任取一点，这个点对应的实数是有理数的概率是多少？
　　我们先来看一个更简单的问题，在区间〔0，1〕上任取一点，这个点落在区间〔13，23〕上的概率为多少？
　　根据测度论的知识体系，所求概率为区间〔13，23〕的测度比上区间〔0，1〕的测度，也就是区间〔13，23〕的长度比上区间〔0，1〕的长度。
　　区间〔13，23〕的长度为231313，区间〔0，1〕的长度为101。
　　所以所求概率为P13：113
　　所以，现在我们所要求的问题转化为在区间〔0，1〕上，所有有理数的点组成的集合对应的长度比上区间〔0，1〕的长度1。
　　接下来我们来讨论：在区间〔0，1〕上，所有有理数的点组成的集合对应的长度为多少？
　　我们假设在区间〔0，1〕上所有的有理数分别为：q1、q2、q3、、qn、
　　取任意足够小的正数0，令
　　q1（q14，q14）
　　q2（q18，q18）
　　q3（q116，q116）
　　qn（q1〔2（n1）〕，q1〔2（n1）〕）
　　区间（q14，q14）的长度为：（q14）（q14）442
　　区间（q18，q18）的长度为：（q18）（q18）884
　　区间（q116，q116）的长度为：（q116）（q116）16168
　　区间（q1〔2（n1）〕，q1〔2（n1）〕）的长度为：
　　｛q1〔2（n1）〕｝｛q1〔2（n1）〕｝〔2（n1）〕〔2（n1）〕（2n）
　　显然，所有有理数的集合｛q1，q2，q3，，qn，｝的长度：
　　d248（2n）
　　注意到数列2，4，8，，（2n），
　　构成一个首项a12，公比q12的无穷递缩等比数列
　　根据无穷递缩等比数列求和公式，所有项之和
　　Slim（Sn）lim｛〔a1（1qn）〕（1q）｝
　　〔a1（10）〕（1q）a1（1q），n，1q1
　　Sa1（1q）
　　由于1q121，所以
　　S248（2n）
　　（2）（112）（2）（12）
　　d248（2n）
　　注意到是任意足够小的正数
　　也就是说d比任意小的正数还要小
　　那么d只能为0
　　所以，所有有理数的集合｛q1，q2，q3，，qn，｝的长度d0
　　所以，取到有理数的概率P010
　　至此，我们终于严格证明了这一结论。现在我们可以回答最开始的疑问了，为什么我们有可能取到有理数，但却说取到有理数的概率是0呢？根本原因就在于数轴上的一些点集相对于整个数轴而言，是完全可以忽略不计的。尽管有理数集有无穷多个，但这无穷多个点的集合长度是0，所以取到有理数的概率也是0。
　　到这里，你又产生了新的疑问。既然有理数集我们可以这样操作来证明长度为0，那我们也可以采用同样的操作方式来证明无理数集的长度也是0啊！
　　答案是否定的！无理数集不能采用以上操作！
　　因为有理数集可以写成有序集合｛q1，q2，q3，，qn，｝，但无理数集无法做到这一点。
　　原因在于有理数集是可数的，而无理数集是不可数的。
　　我们知道所有有理数都可以表示成分子分母互质的整分数，那么我们就可以将区间〔0，1〕上的所有有理数依次有序的排列出来：
　　0，1，12，13，23，14，34，15，25，35，45，
　　区间〔0，1〕上的任何一个有理数都可以在这个有序列中找到一个确定的位置。
　　但对于无理数集，你无法找到任何一种有序的排列方式将所有无理数依次排列出来。
　　再换一种说法，无理数集在实数轴上是连续的、稠密的，而有理数集在实数轴上是间断的、离散的。所以无理数集几乎填满了整个实数轴，而有理数集只是实数轴上一些分散的点集。
　　我们也可以这样来理解，任何两个相邻的无理数之间是没有缝隙的，而任何两个相邻的有理数之间存在缝隙，里面还有无穷多个无理数。
　　所以，在实数轴上任取一点，取到有理数的概率为0，而取到无理数的概率为1001。